Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的斜邊在直線上，且是的中點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為.點(diǎn)在線段上從點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動，同時點(diǎn)在線段上從點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動，且.

（1）求的長及點(diǎn)的坐標(biāo).

（2）作交于點(diǎn)，作交于點(diǎn)，連結(jié)，，設(shè).

①在，相遇前，用含的代數(shù)式表示的長.

②當(dāng)為何值時，與坐標(biāo)軸垂直.

（3）若交軸于點(diǎn)，除點(diǎn)與點(diǎn)重合外，的值是否為定值，若是，請直接寫出的值，若不是，請直接寫出它的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）BC=10，B（3,4）；（2）①；②和；（3）為定值；

【解析】

（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為，再利用勾股定理進(jìn)行求解即可；

（2）①由勾股定理求出AB，AC的長，進(jìn)而求出的值，再利用三角函數(shù)求解CE，CF的長即可得出EF的長；

②分兩種情況討論，當(dāng)與軸垂直、與x軸垂直，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；

（3）作輔助線如圖所示，根據(jù)，利用三角函數(shù)分別表示出CR和PI，進(jìn)而表示出FN和PM即可求出．

（1）作，如圖，

設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，

∵點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，△ABC是直角三角形，

∴OA=OB=OC，

由勾股定理得：，

∴，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為

∴OB=5，

∴BC=10，

（2）①解：在中，，，

∴，

由勾股定理得：，

∴，

∴，

，

∴.

②1.當(dāng)與軸垂直時，則，如圖，

∴，

∴，

∴，

∴.

2.當(dāng)與軸垂直時，則軸，如圖，

∴，作，

∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)中心對稱，

∴，

∴，，

又，

∴

∴，

∴，

∴

綜上所述：當(dāng)和時，與坐標(biāo)軸垂直.

（3）為定值.

過點(diǎn)F作FR∥y軸，F(xiàn)N∥x軸,過點(diǎn)C作CK∥x軸，交FR于點(diǎn)R，CH∥y軸,過點(diǎn)P作MI∥x軸,如圖所示，

在Rt△BKC中，CK=6，BK=8，

∴，

在Rt△FRC中，

CR==，

∴FN=，

在Rt△CHA中，,

在Rt△CPI中，PI=，

∴，

∵PM∥FN，

,

故為定值．