Question

已知：如圖，直線y=kx+b與雙曲線y=

3

x

在第一象限內相交于點M（1，a）和N（3，b），與x軸和y軸分別相交于點A和B，OC⊥AB，垂足為C．
（1）求線段AB的長度；
（2）求OC的長．

Answer 1

分析：雙曲線y=

3

x

在第一象限內相交于點M（1，a）和N（3，b），把M，N的坐標代入雙曲線y=

3

x

的解析式就得到a，b的值，得到A、B的坐標，根據待定系數法就可以求出函數解析式，求出與x，y軸的交點，根據勾股定理得到AB的長．根據三角形的面積得到OC的長．

解答：解：把點M（1，a）和N（3，b）代入函數y=

3

x

，
解得a=3，b=1，
∴M，N的坐標是（1，3），（3，1），
把（1，3），（3，1）代入一次函數解析式得到

3k+b=1 k+b=3

，
解得k=-1，b=4，
∴直線的方程是：y=-x+4，
在解析式中令y=0，得到A（4，0），
在y=-x+4中，令x=0，得到B（0，4），
∴AB=4

2

；

（2）在直角△AOB中，AO=4，OB=4，
則△AOB是等腰直角三角形，
因而OC=

1

2

AB=2

2

．

點評：本題主要考查了待定系數法求函數解析式，以及等腰直角三角形的性質，斜邊上的高線等于斜邊的一半．