Question

如圖，⊙E的圓心E（3，0），半徑為5，⊙E與y軸相交于A、B兩點（點A在點B的上方），與x軸的正半軸交于點C，直線l的解析式為y=x+4，與x軸相交于點D，以點C為頂點的拋物線過點B．

（1）求拋物線的解析式；

（2）判斷直線l與⊙E的位置關系，并說明理由；

（3）動點P在拋物線上，當點P到直線l的距離最小時．求出點P的坐標及最小距離．

Answer 1

【考點】二次函數綜合題．

【專題】壓軸題．

【分析】（1）連接AE，由已知得：AE=CE=5，OE=3，利用勾股定理求出OA的長，結合垂徑定理求出OC的長，從而得到C點坐標，進而得到拋物線的解析式；

（2）求出點D的坐標為（﹣，0），根據△AOE∽△DOA，求出∠DAE=90°，判斷出直線l與⊙E相切與A．

（3）過點P作直線l的垂線段PQ，垂足為Q，過點P作直線PM垂直于x軸，交直線l于點M．設M（m， m+4），P（m，﹣ m²+m﹣4），得到PM=m+4﹣（﹣m²+m﹣4）=m²﹣m+8=（m﹣2）²+，根據△PQM的三個內角固定不變，得到PQ最小=PM_最小•sin∠QMP=PM_最小•sin∠AEO=×=，從而得到最小距離．

【解答】解：（1）如圖1，連接AE，由已知得：AE=CE=5，OE=3，

在Rt△AOE中，由勾股定理得，OA===4，

∵OC⊥AB，

∴由垂徑定理得，OB=OA=4，

OC=OE+CE=3+5=8，

∴A（0，4），B（0，﹣4），C（8，0），

∵拋物線的頂點為C，

∴設拋物線的解析式為y=a（x﹣8）²，

將點B的坐標代入上解析的式，得64a=﹣4，故a=﹣，

∴y=﹣（x﹣8）²，

∴y=﹣x²+x﹣4為所求拋物線的解析式，

（2）在直線l的解析式y=x+4中，令y=0，得x+4=0，解得x=﹣，

∴點D的坐標為（﹣，0），

當x=0時，y=4，

∴點A在直線l上，

在Rt△AOE和Rt△DOA中，

∵=， =，

∴=，

∵∠AOE=∠DOA=90°，

∴△AOE∽△DOA，

∴∠AEO=∠DAO，

∵∠AEO+∠EAO=90°，

∴∠DAO+∠EAO=90°，即∠DAE=90°，因此，直線l與⊙E相切與A．

（3）如圖2，過點P作直線l的垂線段PQ，垂足為Q，過點P作直線PM垂直于x軸，交直線l于點M．

設M（m， m+4），P（m，﹣ m²+m﹣4），則

PM=m+4﹣（﹣m²+m﹣4）=m²﹣m+8=（m﹣2）²+，

當m=2時，PM取得最小值，

此時，P（2，﹣），

對于△PQM，

∵PM⊥x軸，

∴∠QMP=∠DAO=∠AEO，

又∠PQM=90°，

∴△PQM的三個內角固定不變，

∴在動點P運動的過程中，△PQM的三邊的比例關系不變，

∴當PM取得最小值時，PQ也取得最小值，

PQ最小=PM_最小•sin∠QMP=PM_最小•sin∠AEO=×=，

∴當拋物線上的動點P的坐標為（2，﹣）時，點P到直線l的距離最小，其最小距離為．

【點評】本題考查了二次函數綜合題，涉及勾股定理、待定系數法求二次函數解析式、切線的判定和性質、二次函數的最值等知識，在解答（3）時要注意點P、點M坐標的設法，以便利用二次函數的最值求解．