Question

【題目】已知△ABC中，AB=AC，過邊AB上一點N作AB的垂線交BC于點M．

（1）如圖1，若∠A=40°，求∠NMB的度數．

（2）如圖2，若∠A=70°，求∠NMB的度數．

（3）你可以再分別給出幾個∠A（∠A為銳角）的度數，你發現規律了嗎？寫出當∠A為銳角時，你猜想出的規律，并進行證明．

（4）當∠A為直角、鈍角時，是否還有（3）中的結論（直接寫出答案）．

Answer 1

【答案】（1）20°；（2）35°；（3）∠NMB=∠A，理由見解析；（4）當∠A為直角、鈍角時，（3）中的結論仍然成立．

【解析】

（1）利用等邊對等角求出∠B,在直角△BNM中即可求解,

（2）利用等邊對等角求出∠B,在直角△BNM中即可求解,

（3）總結前兩問,找到規律即可解題,

（4）代入角度求值,驗證結論即可.

（1）∵AB=AC，∠A=40°，

∴∠B=∠C=×（180°-40°）=70°，

∵MN⊥AB，

∴∠MNB=90°，

∴∠NMB=90°-∠B=20°，

故答案為：20°；

（2）∵AB=AC，∠A=70°，

∴∠B=∠C=×（180°-70°）=55°，

∵MN⊥AB，

∴∠MNB=90°，

∴∠NMB=90°-∠B=35°，

故答案為：35°；

（3）∠A=40°時，∠NMB=20°，∠NMB=∠A，

∠A=70°時，∠NMB=35°，∠NMB=∠A，

∴∠NMB=∠A，

理由如下：∵AB=AC，

∴∠B=∠C=×（180°-∠A）=90°-∠A，

∵MN⊥AB，

∴∠MNB=90°，

∴∠NMB=90°-∠B=90°-（90°-∠A）=∠A；

（4）當∠A=90°時，∠B=∠C=45°，

∴∠NMB=90°-45°=∠A，

當∠A=100°時，∠B=∠C=40°，

∴∠NMB=90°-50°=∠A，

則當∠A為直角、鈍角時，（3）中的結論仍然成立．