Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，直線EF經過點C，AD⊥EF于點D，∠DAC=∠BAC．
（1）求證：EF是⊙O的切線；
（2）求證：AC2=ADAB；
（3）若⊙O的半徑為2，∠ACD=30°，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OC，

∵OA=OC，

∴∠BAC=∠OCA，

∵∠DAC=∠BAC，

∴∠OCA=∠DAC，

∴OC∥AD，

∵AD⊥EF，

∴OC⊥EF，

∵OC為半徑，

∴EF是⊙O的切線．

（2）證明：連接BC，

∵AB為⊙O直徑，AD⊥EF，

∴∠BCA=∠ADC=90°，

∵∠DAC=∠BAC，

∴△ACB∽△ADC，

∴ ，

∴AC2=ADAB．

（3）解：∵∠ACD=30°，∠OCD=90°，

∴∠OCA=60°，

∵OC=OA，

∴△OAC是等邊三角形，

∴AC=OA=OC=2，∠AOC=60°，

∵在Rt△ACD中，AD= AC= ×2=1，

由勾股定理得：DC= ，

∴陰影部分的面積是S=S梯形OCDA﹣S扇形OCA= ×（2+1）× ﹣ ﹣ π．

【解析】（1）連接OC，根據OA=OC推出∠BAC=∠OCA=∠DAC，推出OC∥AD，得出OC⊥EF，根據切線的判定推出即可；（2）證△ADC∽△ACB，得出比例式，即可推出答案；（3）求出等邊三角形OAC，求出AC、∠AOC，在Rt△ACD中，求出AD、CD，求出梯形OCDA和扇形OCA的面積，相減即可得出答案．