Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，CD為⊙O的弦，連接AC，BD，半徑CO交BD于點E，過點C作切線，交AB的延長線于點F，且∠CFA＝∠DCA．

（1）求證：OE⊥BD；

（2）若BE＝4，CE＝2，則⊙O的半徑是　 　，弦AC的長是　 　．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）5，4

【解析】

（1）根據圓周角定理得到∠ABD＝∠DCA，則∠CFA＝∠ABD，則可判斷BD∥CF，接著根據切線的性質得OC⊥CF，然后根據平行線的性質得到結論；

（2）連接BC，設⊙O的半徑為r，在Rt△OBE中利用勾股定理得到（r﹣2）2+42＝r2，求出r得到⊙O的半徑為5，再利用勾股定理計算出BC＝2，接著利用圓周角定理得到∠ACB＝90°，然后利用勾股定理計算AC．

（1）證明：∵∠CFA＝∠DCA，∠ABD＝∠DCA，

∴∠CFA＝∠ABD，

∴BD∥CF，

∵CF為⊙O的切線，

∴OC⊥CF，

∴OC⊥BD，即OE⊥BD；

（2）解：如圖，連接BC，

設⊙O的半徑為r，則OE＝r﹣2，OB＝r，

在Rt△OBE中，（r﹣2）2+42＝r2，

解得r＝5，即⊙O的半徑為5，

在Rt△BCE中，BC＝，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ACB＝90°，

∴AC＝．

故答案為5，．