Question

某名牌潔具廠生產的一款經典淋浴花灑A（簡稱“花灑A”），因其造型時尚典雅，質量過硬，在市場上供不應求，深受消費者喜愛．但花灑的價格受其主要原材料銅的價格的影響很大，從去年1至12月，國內銅價一路下跌，每千克銅價y（元）與月份x（1≤x≤12，且x取正整數）之間的函數關系如下表：

月份x	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
銅價y（元/千克）	59	58	57	56	55	54	53	52	51	50	49	48

該潔具廠每月按定單數量購買原材料組織生產，并將每套花灑A的出廠價定為680元．已知每套花灑A的含銅量為8千克，每套花灑A的其它成本為120元，且1至12月花灑A的定單數量p（萬套）與月份x滿足函數關系式p=-0.1x+2.2（1≤x≤12，且x取正整數）．
（1）請觀察題中的表格，用所學過的一次函數、反比例函數或二次函數的有關知識，求出y與x之間的函數關系式；
（2）求該廠去年生產花灑A的利潤W（萬元）與x（月）之間的函數關系式，并求出哪個月生產花灑A的利潤最大，且最大利潤是多少萬元？
（3）受國際大宗商品價格上漲的影響，今年1月的銅價比去年12月每千克上漲10元，另一方面，由于臨近春節原材料成本增長，其它成本上漲至131元/套．該潔具廠決定從今年1月開始，每套花灑A的出廠價在去年的基礎上提高a%，與此同時花灑A的月定單數量在去年12月的基礎上減少1.8a%．但是，為解決0.8萬個水龍頭B的庫存問題，潔具廠計劃今年1月在原定單基礎上多生產0.8萬套花灑A，與水龍頭B搭配成淋浴組合C（一套花灑A+1個水龍頭B）進行銷售，已知每年個水龍頭B的所有成本是105元（含銅成本），潔具廠將每套淋浴組合C的出廠價定為1000元，新增的0.8萬套淋浴組合C定單被搶購一空．這樣，該廠今年1月計劃生產的花灑A和淋浴組合C獲總利潤376萬元．請你參考以下數據，估算出a的整數值（0＜a＜20）．
（參考數據：9.6²=92.16，9.7²=94.09，9.8²=96.04，9.9²=98.01）

Answer 1

分析：（1）利用待定系數法就可以直接求出一次函數的解析式；
（2）根據利潤=（出廠價-成本價）×數量就可以求出利潤W與月份x之間的函數關系式．
（3）先根據條件求出今年1月份銅價為（48+10）元，今年得花灑A的出廠價為680（1+a%）元，去年12月的訂單量為p=-0.1×12+2.2=1萬套，就可以表示出組合c的每套利潤為（1000-58×8-131-105）元，進而可以求出組合c的利潤，再加上訂單銷售的而利潤等于總利潤建立方程求出其解即可．

解答：解：（1）設y與x之間的函數關系式為：y=kx+b，由題意得：

59=k+b 58=2k+b

，
解得：

k=-1 b=60

，
∴y與x之間的函數關系式為：y=-x+60；
（2）由題意得：
W=[680-8（-x+60）-120]（-0.1x+2.2），
=-0.8x²+9.6x+176，
=-0.8（x²-12x）+176，
=-0.8（x-6）²+204.8，
∴當x=6時，W_最大=204.8元．
∴6月生產花灑A的利潤最大，且最大利潤是204.8萬元；
（3）由題意，得
去年12月份銅的價格為：48元/千克，
∴今年1月份銅的價格為：48+10=58元/千克，
去年12月份的訂單量為：P=-0.1×12+2.2=1（萬套），
今年1月份出廠價為：680（1+a%）元，
今年1月份的訂單為：1×（1-1.8a%）．
∴1×（1-1.8a%）[680×（1+a%）-8×58-131]+0.8[1000-8×58-131-105]=376，
設a%=m，則原方程化簡為：
1224m²-527m+51=0，
m=

527± 5272-4×1224×51

2448

=

527±17 97

2448

，
∵9.8²=96.04，
∴m=

527±17×9.8

2448

，
∴m₁≈0.283，m₂≈0.147，
∴a%=0.283，或a%=0.147，
∴a₁=28.3，a₂=14.7
∵a為整數，0＜a＜20，
∴a=15．

點評：本題考查了待定系數法求一次函數的解析式的運用，二次函數的解析式的性質的運用，解答時求出函數的解析式是重點，根據1月份計劃生產的花灑A和淋浴組合C獲總利潤為376萬元建立方程是求a值關鍵．