Question

【題目】如圖，四邊形ABCD為正方形，H是AD上任意一點，連接CH，過B作BM⊥CH于M，交AC于F，過D作DE∥BM交AC于E，交CH于G，在線段BF上作PF=DG，連接PG，BE，其中PG交AC于N點，K為BE上一點，連接PK，KG，若∠BPK=∠GPK，CG=12，KP：EF=3：5，求 的值為__．

Answer 1

【答案】

【解析】分析: 連接DF，構建菱形EBFD和平行四邊形GPFD，證明KP∥EF，得△BPK∽△BFE，列比例式為PK：EF=BP：BF=3：5，設BP=3x，BF=5x，則PF=CM=DG=2x，EG=3x，根據BM=12列方程解出x的值，計算EG的長；設AC與KG交于點O，過K作KP⊥AC于P，過G作GQ⊥AC于Q，則KP∥GQ，根據同角的三角函數求KP、GQ、OP、OQ的長，證明△KPO∽△GQO，根據相似比為2：3分別求OK、OG的長，并相加即可得KG的長，最后計算比值即可．

詳解: 連接DF，

∵四邊形ABCD為正方形，

∴BC=CD，∠BCD=90°，

∴∠BCM+∠MCD=90°，

∵BM⊥CH，

∴∠BMC=90°，

∴∠BCM+∠MBC=90°，

∴∠MCD=∠MBC，

∵DE∥BM，

∴∠DGC=∠BMG=90°，

∴∠DGC=∠BMC=90°，

∴△BMC≌△CGD，

∴BM=CG=12，CM=DG，

∵PF=DG，

∴PF=DG=CM，

在△ABE和△ADE中，

∵AB=AD，

∠BAE=∠DAE=45°，

AE=AE，

∴△ABE≌△ADE（SAS），

∴BE=ED，∠AEB=∠AED，

∴∠BEF=∠FED，

∵DE∥BM，

∴∠DEF=∠EFB，

∴∠BEF=∠EFB，

∴BE=BF，

∴BE=BF=ED，

∴四邊形EBFD是菱形，

∴∠BFE=∠EFD，

∴GD=PF，GD∥PF，

∴四邊形GPFD是平行四邊形，

∴GP∥DF，

∴∠BPG=∠BFD，

∵∠BPK=∠KPG，

∴2∠BPK=2∠BFE，

∴∠BPK=∠BFE，

∴PK∥EF，

∴△BPK∽△BFE，

∴PK：EF=BP：BF=3：5，

設BP=3x，BF=5x，則PF=CM=DG=2x，EG=3x，

∵FM∥DE，

∴△CFM∽△CEG，

∴FM：EG=CM：CG，

∴FM：3x=2x：12，

∴FM=，

∵BM=12，

∴BF+FM=12，

5x+=12，

解得：x1=2，x2=-12（舍），

∴EG=3x=6；FM==2，CM=2x=4，

∵∠BKP=∠BPK，

∴BK=BP=3x=6，

∵BF=5x=10，

∴EK=10-6=4，

設AC與KG交于點O，過K作KP⊥AC于P，過G作GQ⊥AC于Q，則KP∥GQ，

∵∠BEF=∠DEF，

∴EK：EG=OK：OG=4：6=2：3，

∵∠BEF=∠BFE=∠CFM，

∴tan∠BEF=tan∠CFM=CM：FM=KP：EP=4：2=2，

∵EK=4，

∴KP=，EP=，

同理得：GQ=，EQ=，

∴PQ=EQ-EP=-=，

∵KP∥GQ，

∴△KPO∽△GQO，

∴OPOQ=OKOG=23，

∴OPPQ=，

∴OP=×PQ=×=，

由勾股定理得：OK===，

∴OG=，

∴KG=OK+OG=，

∴；

故答案為：．