Question

【題目】如圖，∠AOB = 30°，點P是∠AOB內任意一點，且OP = 7，點E和點F分別是射線OA和射線OB上的動點，則△PEF周長的最小值是______.

Answer 1

【答案】7

【解析】

設點P關于OA的對稱點為C，關于OB的對稱點為D，當點E、F在CD上時，△PEF的周長最小．

分別作點P關于OA、OB的對稱點C、D，連接CD，分別交OA、OB于點E、F，連接OP、OC、OD、PE、PF．

∵點P關于OA的對稱點為C，關于OB的對稱點為D，

∴PE＝CE，OP＝OC，∠COA＝∠POA；

∵點P關于OB的對稱點為D，

∴PF＝DF，OP＝OD，∠DOB＝∠POB，

∴OC＝OD＝OP＝7，∠COD＝∠COA＋∠POA＋∠POB＋∠DOB＝2∠POA＋2∠POB＝2∠AOB＝60°，

∴△COD是等邊三角形，

∴CD＝OC＝OD＝7．

∴△PEF的周長的最小值＝PE＋EF＋PF＝CE＋EF＋DF≥CD＝7．

故答案為7.