Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，點O在AC上，OA=2，以OA為半徑的⊙O交AB于點D，AC于G，BD的垂直平分線交BC于點E，交BD于點F，連接DE.

（1）求證：直線DE是⊙O的切線；

（2）求線段DE的長；

（3）求線段AD的長.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）DE=4.75（3）2.4

【解析】試題分析：（1）連接OD，欲證DE是切線，只要證明OD⊥DE即可；

（2）連接OE，設DE=BE=x，CE=8﹣x，利用勾股定理求解即可；

（3）連結BG,DG，根據三角形的面積的不同求法，然后根據勾股定理求解.

試題解析：（1）連接OD，

∵EF垂直平分BD，∴EB=ED，

∴∠B=∠EDB，

∵OA=OD，∴∠ODA=∠A，

∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，

∴∠EDB+∠ODA=90°，∴∠ODE=90°，

∴OD⊥DE于D，∴DE是⊙O的切線．

（2）連接OE，

設DE=BE=x，CE=8﹣x，

∵OE2=DE2+OD2=EC2+OC2，

∴42+（8﹣x）2=22+x2，

解得x=4.75，

∴DE=4.75．

（3）連結BG,DG.

∵AG是直徑，∴GD⊥AB

由S△ABG=AG·BC=AB·GD可得：4×8=10×GD,

∴GD=3.2

∴AD==2.4