Question

【題目】已知一個直角三角形紙片OAB，其中∠AOB=90°，OA=2，OB=4．如圖，將該紙片放置在平面直角坐標系中，折疊該紙片，折痕與邊OB交于點C，與邊AB交于點D．

（1）若折疊后使點B與點A重合，求點C的坐標．

（2）若折疊后點B落在邊OA上的點為B′，是否存在點B′，使得四邊形BCB′D是菱形？若存在，請說明理由并求出菱形的邊長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）C（0，1.5）；（2）存在點B'，使得四邊形BCB'D是菱形，此時菱形的邊長為20﹣8．

【解析】

（1）折疊后使點B與點A重合，則C在AB的中垂線上，Rt△AOC中利用勾股定理即可得到方程，求得C的坐標；
（2）當B'C∥AB（或B'D∥BO）時，四邊形BCB'D是菱形，則△OB'C∽△OAB，依據相似三角形的對應邊的比相等即可求得B′C的長度，然后根據△AB'D∽△AOB，即可求得B′D的長．從而證得B'C=BC=B'D=BD．

（1）設C（0，m），（m＞0），

則CO=m，

BC=AC=（4﹣m），

在Rt△AOC中，有（4﹣m）2﹣m2=4，

整理得，12m=8，

∴m=1.5，

∴C（0，1.5）；

（2）存在，當B'C∥AB（或B'D∥BO）時，四邊形BCB'D是菱形，

∵∠AOB=90°，OA=2，OB=4，

∴AB=2，

∵B'C∥AB，

∴△OB'C∽△OAB，

∴，

設B'C=BC=x，則，

解得，x=2，

∵B'C∥AB，

∴∠CBD+∠BCB'=180°，

又∵∠CBD=∠CB'D，

∴∠CB'D+∠BCB'=180°，

∴B'D∥BO，

∴△AB'D∽△AOB，

∴，

設B'D=BD=y，

∴，

解得：y=20﹣8，

∴B'C=BC=B'D=BD，

∴四邊形BCB'D是菱形，

∴存在點B'，使得四邊形BCB'D是菱形，此時菱形的邊長為20﹣8．