Question

【題目】已知拋物線與軸交于和兩點(diǎn)，與軸正半軸交于點(diǎn)，若的面積，

（1）求拋物線的對(duì)稱軸及解析式．

（2）若為對(duì)稱軸上一點(diǎn)，且，以、為頂點(diǎn)作正方形（、、、順時(shí)針排列），若正方形有兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上，求的值．

（3）如圖，、兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，一次函數(shù)過(guò)點(diǎn)，且與拋物線只有唯一一個(gè)公共點(diǎn)，平移直線交拋物線于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)上方），請(qǐng)你猜想與的數(shù)量關(guān)系并加以證明．

Answer 1

【答案】（1）對(duì)稱軸是直線，；（2）或；（3）或，證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）根據(jù)對(duì)稱軸公式可求得對(duì)稱軸，由面積以及點(diǎn)的坐標(biāo)可求得拋物線解析式；

（2）分情況討論，設(shè)P（1，n），根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以得到D，E點(diǎn)坐標(biāo)，代入解析式即可求得n值；

（3）分情況討論，求出關(guān)于D點(diǎn)的切線方程，平移切線與拋物線聯(lián)立，可得關(guān)于交點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系式，利用直角三角形性質(zhì)即可求得角度之間關(guān)系．

（1）解：對(duì)稱軸為直線，

∵，，

∴，即，，

由面積，得，

∴，

、代入可得；，

即拋物線解析式為；；

（2）解：由題意知，

①如左圖， 過(guò)P作PM⊥y軸，PN⊥x軸，

設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為（a，b）,由旋轉(zhuǎn)90°可得△CMP≌△DNP，

∴CM=DN，PM=PN，

∴，，

∴，，

∴，

將D點(diǎn)代入，

∴，解得或4（舍），

②如圖，

同理可求得，

代入拋物線解析式，，

解得（舍去）或，

∴或；

（3）①若點(diǎn)在左側(cè)，，理由如下

易知D（2,3），過(guò)點(diǎn)的拋物線的切線為，

設(shè)平移后的解析式為，

與拋物線聯(lián)立得：，

，，

∴；

②若點(diǎn)在右側(cè)，，理由如下

同理可得，

所以，

綜上所述，或．