Question

【題目】如圖，已知拋物線y=﹣x2+bx+c與一直線相交于A（﹣1，0）、C（2，3）兩點，與y軸交于點N，其頂點為D．

（1）求拋物線及直線AC的函數關系式；

（2）若P是拋物線上位于直線AC上方的一個動點，求△APC的面積的最大值及此時點P的坐標；

（3）設點M（3，n），求使MN+MD取最小值時n的值．

Answer 1

【答案】（1）y═﹣x2+2x+3，y=x+1；（2）P（，）；（3）．

【解析】

（1）利用待定系數法，以及點A（﹣1，0）、C（2，3）即可求得二次函數解析式、一次函數解析式；

（2）過點P作PQ⊥x軸交AC于點Q，交x軸于點H，設P（m，﹣m2+2m+3），，則點Q（m，m+1），則可求得線段PQ=﹣（m﹣）2+，最后由圖示以及三角形的面積公式表示出△APC 的面積，由二次函數最值的求法可知△APC的面積的最大值；

（3）根據兩點之間線段最短過點N作與直線x=3的對稱點N′，連接DN′，，當M（3，n）在直線DN′上時，MN+MD的值最小.

（1）∵將點A和點C的坐標代入拋物線的解析式得：，

解得：b=2，c=3．

∴拋物線的解析式為y═﹣x2+2x+3．

設直線AC的解析式為y=kx+b．

∵將點A和點C的坐標代入得，解得k=1，b=1．

∴直線AC的解析式為y=x+1．

（2）如圖，

設點P（m，﹣m2+2m+3），

∴Q（m，m+1），

∴PQ=（﹣m2+2m+3）﹣（m+1）=﹣m2+m+2=﹣（m﹣）2+，

∴S△APC=PQ×|xC﹣xA|

= [﹣（m﹣）2+]×3=﹣（m﹣）2+，

∴當m=時，S△APC最大=，y=﹣m2+2m+3=，

∴P（，）；

（3）如圖1所示，過點N作與直線x=3的對稱點N′，連接DN′，交直線x=3與點M．

∵當x=0時y═3，

∴N（0，3）．

∵點N與點N′關于x=3對稱，

∴N′（6，3）．

∵y═﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴D（1，4）．

設DN的解析式為y=kx+b．

將點N′與點D的坐標代入得：，

解得：k=﹣，b=．

∴直線DN′的解析式為y=﹣x+．

當x=3時，n=+=．