Question

如圖，在平面直角坐標系中，A、B為x軸上兩點，C、D為y軸上的兩點，經
過點A、C、B的拋物線的一部分C₁與經過點A、D、B的拋物線的一部分C₂組合成一條封閉曲線，我們把這條封
閉曲線稱為“蛋線”．已知點C的坐標為（0，），點M是拋物線C₂：（＜0）的頂點．

（1）求A、B兩點的坐標；
（2）“蛋線”在第四象限上是否存在一點P，使得△PBC的面積最大？若存在，求出△PBC面積的最大值；若不存在，請說明理由；
（3）當△BDM為直角三角形時，求的值．

Answer 1

解：（1）令y=0，則 ， 
∵m＜0，∴，解得：，。
∴A（，0）、B（3，0）。
（2）存在。理由如下：
∵設拋物線C₁的表達式為（），
把C（0，）代入可得，。    
∴Ｃ₁的表達式為：，即。    
設P（p，），
∴ S_△PBC = S_△POC + S_△BOP –S_△BOC =。
∵<0，∴當時,S_△PBC最大值為。
（3）由C₂可知： B（3，0），D（0，），M（1，），
∴BD²=，BM²=，DM²=。
∵∠MBD<90°, ∴討論∠BMD=90°和∠BDM=90°兩種情況：
當∠BMD=90°時，BM²+ DM²= BD²，即＋=，
解得：,  (舍去)。 
當∠BDM=90°時，BD²+ DM²= BM²，即＋=，
解得：， (舍去) 。  
綜上所述， 或時，△BDM為直角三角形。

解析