Question

【題目】材料：對任意一個n位正整數M（n≥3），若M與它的十位數字的p倍的差能被整數q整除，則稱這個數為“p階q級數”，例如：712是“5階7級數”，因為＝101；712也是“12階10級數”，因為＝70．

（1）若415是“5階k級數”，且k＜300，求k的最大值；

（2）若一個四位數M的百位數字比個位數字大2，十位數字為1，且M既是“4階13級數”又是“6階5級數”，求這個四位數M．

Answer 1

【答案】（1）k的最大值為205；（2）滿足要求的M為8311或6816．

【解析】

（1）根據材料中給出的“p階q級數”的含義及k的取值范圍即可得出答案．

（2）先設未知數表示出M，然后根據M既是“4階13級數”又是“6階5級數”列出式子并結合整除規律即可解答．

（1）∵415是“5階k級數”，

所以為整數，

∵k＜300，

∴k的最大值為205．

（2）設M為千位數字為x，個位數字為y，則百位數字為y+2，

∴M＝1000x+100（y+2）+10+y，（0≤y≤7）

∵M既是“4階13級數”又是“6階5級數”，

∴與均為整數，

∴M﹣4是13的整數倍，M﹣6是5的整數倍，

∴y＝6或1，

當y＝1時，M﹣4＝1000x+307，

＝＝77x+24﹣，

∴x＝8，

∴M＝8311．

當y＝6時，M﹣4＝1000x+812

＝＝77x+63﹣，

∴x＝6，

∴M＝6816．

綜上所述，滿足要求的M為8311或6816．