Question

【題目】如圖1，已知拋物線y=ax2+bx（a≠0）經過A（3，0）、B（4，4）兩點．

（1）求拋物線的解析式；
（2）將直線OB向下平移m個單位長度后，得到的直線與拋物線只有一個公共點D，求m的值及點D的坐標；
（3）如圖2，若點N在拋物線上，且∠NBO=∠ABO，則在（2）的條件下，求出所有滿足△POD∽△NOB的點P坐標（點P、O、D分別與點N、O、B對應）．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=ax2+bx（a≠0）經過A（3，0）、B（4，4）

∴將A與B兩點坐標代入得： ，

解得： ，

∴拋物線的解析式是y=x2﹣3x

（2）

解：設直線OB的解析式為y=k1x，由點B（4，4），

得：4=4k1，解得：k1=1

∴直線OB的解析式為y=x，

∴直線OB向下平移m個單位長度后的解析式為：y=x﹣m，

∵點D在拋物線y=x2﹣3x上，

∴可設D（x，x2﹣3x），

又∵點D在直線y=x﹣m上，

∴x2﹣3x=x﹣m，即x2﹣4x+m=0，

∵拋物線與直線只有一個公共點，

∴△=16﹣4m=0，

解得：m=4，

此時x1=x2=2，y=x2﹣3x=﹣2，

∴D點的坐標為（2，﹣2）

（3）

解：∵直線OB的解析式為y=x，且A（3，0），

∴點A關于直線OB的對稱點A′的坐標是（0，3），

根據軸對稱性質和三線合一性質得出∠A′BO=∠ABO，

設直線A′B的解析式為y=k2x+3，過點（4，4），

∴4k2+3=4，解得：k2= ，

∴直線A′B的解析式是y= ，

∵∠NBO=∠ABO，∠A′BO=∠ABO，

∴BA′和BN重合，

即點N在直線A′B上，

∴設點N（n， ），又點N在拋物線y=x2﹣3x上，

∴ =n2﹣3n，

解得：n1=﹣ ，n2=4（不合題意，舍去）

∴N點的坐標為（﹣ ， ）．

方法一：

如圖1，將△NOB沿x軸翻折，得到△N1OB1，

則N1（- ，- ），B1（4，﹣4），

∴O、D、B1都在直線y=﹣x上．

∵△P1OD∽△NOB，△NOB≌△N1OB1，

∴△P1OD∽△N1OB1，

∴ ，

∴點P1的坐標為（- ，- ）．

將△OP1D沿直線y=﹣x翻折，可得另一個滿足條件的點P2（ ， ），

綜上所述，點P的坐標是（- ，- ）或（ ， ）．

方法二：

如圖2，將△NOB繞原點順時針旋轉90°，得到△N2OB2，

則N2（ ， ），B2（4，﹣4），

∴O、D、B1都在直線y=﹣x上．

∵△P1OD∽△NOB，△NOB≌△N2OB2，

∴△P1OD∽△N2OB2，

∴ ，

∴點P1的坐標為（ ， ）．

將△OP1D沿直線y=﹣x翻折，可得另一個滿足條件的點P2（- ，- ），

綜上所述，點P的坐標是（- ，- ）或（ ， ）．

方法三：

∵直線OB：y=x是一三象限平分線，

∴A（3，0）關于直線OB的對稱點為A′（0，3），

∴ 得：x1=4（舍），x2=﹣ ，

∴N（﹣ ， ），

∵D（2，﹣2），∴lOD：y=﹣x，

∵lOD：y=x，

∴OD⊥OB，

∵△POD∽△NOB，

∴N（﹣ ， ）旋轉90°后N1（ ， ）或N關于x軸對稱點N2（﹣ ，﹣ ），

∵OB=4 ，OD=2 ，

∴ ，

∵P為ON1或ON2中點，

∴P1（ ， ），P2（- ，- ）．

【解析】（1）利用待定系數法求出二次函數解析式即可；（2）根據已知條件可求出OB的解析式為y=x，則向下平移m個單位長度后的解析式為：y=x﹣m．由于拋物線與直線只有一個公共點，意味著聯立解析式后得到的一元二次方程，其根的判別式等于0，由此可求出m的值和D點坐標；（3）綜合利用幾何變換和相似關系求解．方法一：翻折變換，將△NOB沿x軸翻折；方法二：旋轉變換，將△NOB繞原點順時針旋轉90°．特別注意求出P點坐標之后，該點關于直線y=﹣x的對稱點也滿足題意，即滿足題意的P點有兩個，避免漏解．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數的圖象的相關知識，掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點，以及對二次函數的性質的理解，了解增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．