Question

【題目】在綜合與實踐課上，老師組織同學們以“矩形紙片的折疊”為主題開展數學活動.

（1）奮進小組用圖1中的矩形紙片ABCD，按照如圖2所示的方式，將矩形紙片沿對角線AC折疊，使點B落在點處，則與重合部分的三角形的類型是________.

（2）勤學小組將圖2中的紙片展平，再次折疊，如圖3，使點A與點C重合，折痕為EF，然后展平，則以點A、F、C、E為頂點的四邊形是什么特殊四邊形？請說明理由．

（3）創新小組用圖4中的矩形紙片ABCD進行操作，其中，，先沿對角線BD對折，點C落在點的位置，交AD于點G，再按照如圖5所示的方式折疊一次，使點D與點A重合，得折痕EN，EN交AD于點M．則EM的長為________cm.

Answer 1

【答案】（1）等腰三角形（或鈍角三角形）；（2）菱形，理由詳見解析；（3）.

【解析】

（1）利用折疊的性質和角平分線定義即可得出結論；
（2）利用四邊相等的四邊形是菱形即可得出結論；
（3）由勾股定理可求BD的長，BG的長，AG的長，利用勾股定理和折疊的性質可得到結果。

解：（1）等腰三角形（或鈍角三角形）．

提示：∵四邊形ABCD是矩形，

∴，

∴．

由折疊知，，

∴，

∴重合部分的三角形是等腰三角形.

（2）菱形．

理由：如圖，

連接AE、CF，設EF與AC的交點為M，

由折疊知，，，

∴，．

∵四邊形ABCD是矩形，

∴，

∴，，

∴，

∴，

∴，

∴以點A，F，C，E為頂點的四邊形是菱形．

（3）.

提示：∵點D與點A重合，得折痕EN，，，

∴.

在中，，

∴.

∵，，

∴．

∵，

∴，

∴，

∴由勾股定理可得，

由折疊的性質可知，

∵，

∴，

∴，

∴，設，則．

由勾股定理得，即，

解得，即.