Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸、軸分別交于點、，點為軸負半軸上一點，于點交軸于點，滿足．已知拋物線經過點、、．

求拋物線的函數關系式；

連接，點在線段上方的拋物線上，連接、，若和面積滿足，求點的坐標；

如圖，為中點，設為線段上一點（不含端點），連接．一動點從出發，沿線段以每秒個單位的速度運動到，再沿著線段以每秒個單位的速度運動到后停止．若點在整個運動過程中用時最少，請直接寫出最少時間和此時點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）（2）或（3）點在整個運動過程中所用的最少時間秒，此時點的坐標為

【解析】

（1）先利用OC=3和4CN=5ON計算出ON=，再證明△AON∽△COB，利用相似比計算出OA=1，得到A（-1，0），然后利用交點式可求出拋物線解析式為y=-x2+x+3；
（2）先利用待定系數法求出直線BC的解析式為y=-x+3，作PQ∥y軸交BC于Q，如圖1，設P（x，-x2+x+3），則Q（x，-x+3），再計算出DQ=-x2+3x，根據三角形面積公式得S△BCD=S△CDQ+S△BDQ=-x2+6x，然后根據S△BCD=S△ABC得到-x2+6x=××（4+1）×3，然后解方程求出x即可得到D點坐標；
（3）設F（m，-x+3）利用兩點間的距離公式得到EF=，CF=x，則點P在整個運動過程中所用時間t=EF+=EF+CF，根據不等式公式得到EF+CF≥，當EF=CF時，取等號，此時t最小，解方程x2-x+13=（x）2得x1=2，x2=（舍去），于是得到點P在整個運動過程中所用的最少時間2××2=3秒，此時點F的坐標為（2，）．

∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，即，解得，

∴，

設拋物線解析式為，

把代入得，解得，

∴拋物線解析式為；設直線的解析式為，

把，代入得，解得，

∴直線的解析式為，

作軸交于，如圖，設，則，

，

∴，

∵，

∴，

整理得，解得，，

∴點坐標為或；設，則，，

點在整個運動過程中所用時間，當時，取等號，此時最小，

即，

整理得，解得，（舍去），

∴點在整個運動過程中所用的最少時間秒，此時點的坐標為．