Question

【題目】如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，在斜邊AB上取一點D，過點D作DE//BC，交AC于點E．現將△ADE繞點A旋轉一定角度到如圖2所示的位置（點D在△ABC的內部），使得∠ABD+∠ACD=90°．

（1）①求證：△ABD∽△ACE；
②若CD=1，BD= ，求AD的長；
（2）如圖3，將原題中的條件“AC=BC”去掉，其它條件
不變，設 ，若CD=1，BD=2，AD=3，求k的值；

（3）如圖4，將原題中的條件“∠ACB=90°”去掉，其它條件不變，若 ，設CD=m ， BD=n ， AD=p ， 試探究m ， n ， p三者之間滿足的等量關系．（直接寫出結果，不必寫出解答過程）

Answer 1

【答案】
（1）

解：①如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，

∴∠A=∠B=45°，=，

∵DE//BC,

所以∠D=∠B=45°，∠AED=∠ACB=90°,=，

如圖2，∵∠DAE=∠BAC=45°，

∴∠CAE=∠BAD，

又∵==，

∴△ABD∽△ACE.

②由①得△ABD∽△ACE，

∴,∠ABD=∠ACE，

∴CE=BD=.

∵∠ABD+∠ACD=90°,∠ABD=∠ACE，

∴∠ACE+∠ACD=90°，

∴∠DCE=90°，

則DE=，

則AD=DE=2.

（2）

解：與（1）同理可證△ABD∽△ACE，∠DCE=90°，

∴，CE=2k，AE=3k，

則AD2-AE2=CE2+CD2，

即9-9k2=4k2+1，

解得k=.

（3）

解：由（2）得=，

則CE=n，AE=p，

則DE2=CE2+CD2=+m2，

因為DE//BC，所以△ADE∽△ABC，

則，

因為AC=BC，

所以AE=DE，

即=+m2，

則9p2=9n2+25m2.

【解析】（1）①由“兩對應邊成比例，且對應邊的夾角相等，則這兩個三角形相似”，即要證明==，∠CAE=∠BAD；
②由△ABD∽△ACE，得，可求得CE，由∠ABD+∠ACD=90°,∠ABD=∠ACE，可得△CDE是直角三角形，從而求得DE，即而得到AＤ；
（２）與（1）同理可證△ABD∽△ACE，∠DCE=90°，，這樣可分別求得CE，AE，則由勾股定理得DE2=AD2-AE2=CE2+CD2 ， 可求得k的值；
（３）方法同（1）分別求得CE，AE，由勾股定理可求得DE，由AE=DE化簡可得.