Question

如圖，P為等邊△ABC內一點，PA、PB、PC的長為正整數，且PA²+PB²=PC²，設PA=m，n為大于5的實數，滿m²n+30m+9n≤5m²+6mn+45，求△ABC的面積．

Answer 1

解：m²n+30m+9n≤5m²+6mn+45，
∴分解因式得：（n-5）（m-3）²≤0，
∵n為大于5的實數，
∴m-3=0，∵即：PA=m=3，
∵PA²+PB²=PC²，PA、PB、PC的長為正整數，
∴PB=4，PC=5，
設∠PAB=Q，等邊三角形的邊長是a，
則∠PAC=60°-Q，
由余弦定理得：cosQ==，（1）
cos（60°-Q）==，（2）
而cos（60°-Q）=cos60°cosQ-sin60°sinQ，
=-=，（3）
將（1）代入（3）得：-=，
解得：sinQ=，
∵（sinQ）²+（cosQ）²=1，
∴+=1，
令a²=t，
∴+=1，
解得：t₁=25+12，t₂=25-12，
由（1）知a＞0，cosQ＞0，
即＞0，a²＞7，
∴t₂=25-12＜7，不合題意舍去，
∴t=25-12，
即a²=25-12，
過A作AD⊥BC于D，
∵等邊△ABC，
∴BD=CD=a，
由勾股定理得：AD=，
∴S_△ABC=•a•==9+．
答：△ABC的面積是9+．
分析：由已知求出PA、PB、PC的長度，設∠PAB=Q，等邊三角形的邊長是a，∠PAC=60°-Q，根據銳角三角函數（余弦定理）求出cosQ和cos（60°-Q）的值，即可求出a的長度，過A作AD⊥BC于D，求出AD的長度，根據三角形的面積公式即可求出答案．
點評：本題主要考查了勾股定理的逆定理，用公式法解一元二次方程，用提取公因式法分解因式，余弦定理等知識點，運用余弦定理求等邊三角形的邊長是解此題的關鍵．題型較好但難度較大．