Question

【題目】如圖，長方形紙片ABCD中，AB=8cm，AD=6cm，按下列步驟進行裁剪和拼圖：
第一步：如圖①，在線段AD上任意取一點E，沿EB，EC剪下一個三角形紙片EBC（余下部分不再使用）；
第二步：如圖②，沿三角形EBC的中位線GH將紙片剪成兩部分，并在線段GH上任意取一點M，線段BC上任意取一點N，沿MN將梯形紙片GBCH剪成兩部分；
第三步：如圖③，將MN左側紙片繞G點按順時針方向旋轉180°，使線段GB與GE重合，將MN右側紙片繞H點按逆時針方向旋轉180°，使線段HC與HE重合，拼成一個與三角形紙片EBC面積相等的四邊形紙片．
（注：裁剪和拼圖過程均無縫且不重疊）
則拼成的這個四邊形紙片的周長的最小值為cm，最大值為cm．

Answer 1

【答案】20；12+
【解析】解：畫出第三步剪拼之后的四邊形M1N1N2M2的示意圖，如答圖1所示．
圖中，N1N2=EN1+EN2=NB+NC=BC，
M1M2=M1G+GM+MH+M2H=2（GM+MH）=2GH=BC（三角形中位線定理），
又∵M1M2∥N1N2 ， ∴四邊形M1N1N2M2是一個平行四邊形，
其周長為2N1N2+2M1N1=2BC+2MN．
∵BC=6為定值，∴四邊形的周長取決于MN的大�。�
如答圖2所示，是剪拼之前的完整示意圖．

過G、H點作BC邊的平行線，分別交AB、CD于P點、Q點，則四邊形PBCQ是一個矩形，這個矩形是矩形ABCD的一半．
∵M是線段GH上的任意一點，N是線段BC上的任意一點，
根據垂線段最短，得到MN的最小值為PQ與BC平行線之間的距離，即MN最小值為4；
而MN的最大值等于矩形對角線的長度，即 = =
∵四邊形M1N1N2M2的周長=2BC+2MN=12+2MN，
∴四邊形M1N1N2M2周長的最小值為12+2×4=20，
最大值為12+2× =12+ ．
所以答案是：20，12+ ．
【考點精析】掌握三角形中位線定理和矩形的性質是解答本題的根本，需要知道連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線；三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半；矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等．