Question

【題目】（1）如圖，AB=4， O是以AB為直徑的圓，以B為圓心，1為半徑畫弧與O交于點C，連接AC．請按下列要求回答問題：

①sinA等于____________；

②在線段AB上取一點E，當BE=______________時，連接CE，使線段CE與圖中弦（不含直徑）所夾角的正弦值等于；

（2）完成操作：僅用無刻度的直尺和圓規(guī)作一個直角三角形ABC，使A的正弦值

等于．（保留作圖痕跡，不必說明作法和理由）

Answer 1

【答案】（1）①;②或2;（2）見解析.

【解析】分析: （1）①根據(jù)直徑所對的圓周角是直角得∠ACB=90°,再依據(jù)正弦的定義即可求出;

②題中不含直徑的弦有BC和AC, 要滿足線段CE與BC或AC所夾角的正弦值等于,即∠BCE=∠A或∠ACE=∠A,分情況即可求出;

（2）作等邊三角形△PMN，以MN為直徑作⊙O，過點N作NF⊥MN，作∠PMN的平分線交NF于H，作∠MHN的平分線HB交MN于B，則BM=HM=2BN，以N為圓心NB為半徑作弧交⊙O于P，連接MP、PN，△PMN即為所求.

詳解: （1）∵AB為直徑,

∴∠ACB=90°

又∵AB=4,BC=1

∴sinA=.

故答案為: .

（2）∵sinA=,線段CE與圖中弦所夾角的正弦值等于

∴∠BCE=∠A或∠ACE=∠A,

當∠BCE=∠A時, CE⊥AB,

∴sin∠BCE==

∴BE=,

當∠ACE=∠A時,CE=AE,則點O與點E重合,

∴BE=2.

綜上,BE=或2.

(2)ABC即為所求.

點睛: 本題考查作圖-應用與設計，圓的有關知識，等邊三角形的性質，銳角三角函數(shù)等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型