Question

已知函數y=x²+bx+c的圖象經過A（3，4）和B（2，0）兩點．
（1）求函數的解析式及頂點M的坐標；
（2）設點N為線段BM上一點，過點N作x軸的垂線，垂足為Q，當點N在線段BM上運動時（點N不與點B重合），設NQ的長為t，四邊形NQAC（C為拋物線與y軸的交點）的面積為S，求S與t之間的函數關系，并求自變量t的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由題意，可得：

解得：
因此拋物線的解析式為y=x²-x-2；
頂點M的坐標為：M（，-）．

（2）由B（2，0），M（，-）得線段BM所在的直線的解析式為y=x-3，
設點N的坐標為（h，-t），點N在線段BM上，將點N代入y=x-3中，
得h=2-t，其中0＜t＜，
由拋物線解析式得C（0，-2），
∴S=×1×2+（t+2）（2-t）=-t²+t+3
∴S與t間的函數關系式為S=-t²+t+3
自變量的取值范圍是0＜t＜．
分析：（1）可將A，B兩點的坐標代入拋物線的解析式中即可求出待定系數的值．根據得出的拋物線的解析式可得出頂點M的坐標．
（2）由于四邊形NQAC不是規則的四邊形，因此可將其分割成三角形AOC和圖象NQOC兩部分進行計算．可先根據B、C的坐標求出直線BC的解析式，然后設出N點的坐標（可根據直線BC的解析式，用橫坐標表示出縱坐標），進而表示出OQ、NQ的長，然后按上面分析的四邊形NQAC的面積計算方法得出S，t的函數關系式．
點評：本題著重考查了待定系數法求二次函數解析式、函數圖象交點的求法、圖形的面積的求法等知識點．