Question

已知函數y=x²+2ax+a²-1在0≤x≤3范圍內有最大值24最小值3，則實數a的值為

 

．

Answer 1

分析：先用配方法把函數化為頂點式的形式，求出其對稱軸，再根據二次函數的增減性及題目條件將頂點的橫坐標的值分三種情況討論，從而求出實數a的值．

解答：解：配方y=（x+a）²-1，
函數的對稱軸為直線x=-a，
頂點坐標為（-a，-1）．
①當0≤-a≤3即-3≤a≤0時，
函數最小值為-1，不合題意；
②當-a＜0即a＞0時，
∵當x=3時，y有最大值；當x=0時，y有最小值，
∴

9+6a+a2-1=24 a2-1=3

，解得a=2；
③當-a＞3即a＜-3時，
∵當x=3時，y有最小值；當x=0時，y有最大值，
∴

a2-1=24 9+6a+a2-1=3

，解得a=-5．
∴實數a的值為2或-5．
故答案為2或-5．

點評：本題考查了求二次函數的最大（小）值的方法．注意，只有當自變量x在整個取值范圍內，函數值y才在頂點處取最值．而當自變量取值范圍只有一部分時，必須結合二次函數的增減性及對稱軸判斷何處取最大值，何處取最小值．