Question

【題目】如圖，在RtABC中，∠C=90°，AC=BC=4cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)以1cm/s的速度沿CA勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)以的速度沿AB勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為他t(s)．

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)B在線段PQ的垂直平分線上？

（2）是否存在某一時(shí)刻t，使APQ是以PQ為腰的等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）以PC為邊，往CB方向作正方形CPMN，設(shè)四邊形QNCP的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

【答案】（1） （2）存在，或2 （3）

【解析】

（1）連接PB，由點(diǎn)B在線段PQ的垂直平分線上，推出BP=BQ，由此構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題；（2）分兩種情形分別構(gòu)建方程求解即可；（3）如圖4中，連接QC，作QE⊥AC于E，作QF⊥BC于F．則QE=AE，，可得QE+QF=AE+EC=AC=4．根據(jù)S=，計(jì)算即可；

（1）如圖1中，連接．

在中，，，

點(diǎn)在線段的垂直平分線上，

，

，，

，，

，

解得或（舍棄），

時(shí)，點(diǎn)在線段的垂直平分線上．

（2）①如圖2中，當(dāng)時(shí)，易知是等腰直角三角形，．

則有，

，

解得．

②如圖3中，當(dāng)時(shí)，易知是等腰直角三角形，．

則有：，

，

解得，

綜上所述：或時(shí)，是以為腰的等腰三角形．

（3）如圖4中，連接，作于，作于．則，，可得．

．