Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝15cm，BC＝12cm，點D是線段AC的中點，動點P從A﹣D﹣B﹣C向終點C出發，速度為5cm/s，當點P不與點A、B重合時，作PE⊥AB交線段AB于點E，設點P的運動時間為t（s），△APE的面積為S（cm2）．

（1）寫出線段AB的長；

（2）當點P在線段BD上時，求PE的長（用含t的式子表示）；

（3）當點P沿A﹣D﹣B運動時，用含t的代數式表示S；

（4）點E關于直線AP的對稱點為E′，當點E′落在△ABC的內部時，直接寫出t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）9；（2）12﹣4t；（3）S＝；（4）＜t＜3或3＜t＜3.9

【解析】

（1）在Rt△ABC中，根據勾股定理即可解決問題．

（2）只要證明△PBE∽△CAB，可得，由此即可解決問題．

（3）分兩種情形討論①當0＜t≤3時．②當3＜t＜6時，根據三角形的面積公式求出AE、PE即可解決問題．

（4）求出兩個特殊點的時間①如圖1中，當點E關于AP的對稱點E′在線段AC上時．如圖2中，當點P在BC上，點E關于AP的對稱點E′在線段AC上時．即可解決問題．

（1）∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝15cm，BC＝12cm，

∴AB＝，

即AB的長為9；

（2）∵PE⊥AB，BC⊥AB，

∴PE∥BC，∠ABC＝∠BEP＝90°，

∴∠EPB＝∠PBC，

∵點D為AC中點，

∴BD＝CD＝AC，

∴∠DBC＝∠DCB，

∴∠EPB＝∠DCB，

∴△PBE∽△CAB，

∴

∴，

∵BP＝15﹣5t，

∴PE＝12﹣4t．

（3）當0＜t≤3時

AE＝5t×＝3t，PE＝5t×＝4t，

S＝PEAE＝4t3t＝6t2，

∴S＝6t2．

當3＜t＜6時，

AE＝9﹣（15﹣5t）×＝3t，PE＝（15﹣5t）×＝12﹣4t，

S＝PEAE＝3t（12﹣4t）＝﹣6t2+18t．

∴S＝﹣6t2+18t，

綜上所述，S＝．

（4）如圖1中，當點E關于AP的對稱點E′在線段AC上時．作PE′⊥AC于E′，則PE＝PE′

∵，

∴ ，

∴，

∴PD＝，

∴點P運動的時間＝（）÷5＝s，

觀察圖象可知當＜t＜3時，當點E′落在△ABC的內部．

如圖2中，當點P在BC上，點E關于AP的對稱點E′在線段AC上時．

同理可得，

∴，

∴PB＝4.5，

∴∴點P運動的時間＝（+4.5）÷5＝3.9s

觀察圖象可知當3＜t＜3.9時，當點E′落在△ABC的內部．

綜上所述，當＜t＜3或3＜t＜3.9時，當點E′落在△ABC的內部．