Question

如圖是一個量角器和一個含30°角的直角三角板放置在一起的示意圖，其中點B在半圓O的直徑DE的延長線上，AB切半圓O于點F，且BC=OE．
（1）求證：DE∥CF；
（2）當OE=2時，若以O，B，F為頂點的三角形與△ABC相似，求OB的長；
（3）若OE=2，移動三角板ABC且使AB邊始終與半圓O相切，直角頂點B在直徑DE的延長線上移動，求出點B移動的最大距離．

Answer 1

分析：（1）先作輔助線，連接OF，證明四邊形OBCF是平行四邊形，得出DE∥CF；
（2）利用相似比求OB的長，
（3）由題意得到點B所在的兩個極值位置，求出點B移動的最大距離．

解答：（1）證明：連接OF，
∵AB切半圓O于點F，OF是半徑，
∴∠OFB=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠OFB=∠ABC，
∴OF∥BC，
∵BC=OE，OE=OF，
∴BC=OF，
∴四邊形OBCF是平行四邊形，
∴DE∥CF；

（2）解：若△OBF∽△ACB，
∴

OB

OF

=

AC

AB

，
∴OB=

AC•OF

AB

，
∵∠A=30°，∠ABC=90°，BC=OE=2，
∴AC=4，AB=2

3

．
又∵OF=OE=2，
∴OB=

4×2

2 3

=

4 3

3

；
若△BOF∽△ACB，
∴

OB

OF

=

AC

BC

，
∴OB=

AC•OF

BC

，
∴OB=

4×2

2

=4；
綜上，OB=

4 3

3

或4；

（3）解：畫出移動過程中的兩個極值圖，
由圖知：點B移動的最大距離是線段BE的長，
∵∠A=30°，∴∠ABO=30°，∴BO=4，∴BE=2，
∴點B移動的最大距離是線段BE的長為2．

點評：本題利用了平行四邊形的判定和性質，切線的性質等知識解決問題．