Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，點M是AC的中點，以AB為直徑做⊙O分別交AC，BM于點D、E．
（1）求證：∠MDE=∠MED；
（2）填空： ①若AB=6，當DM=2AD時，DE=；
②連接OD、OE，當∠C的度數為時，四邊形ODME是菱形．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵∠ABC=90°，M是AC的中點，

∴BM=AM=MC，

∴∠A=∠ABM，

∵四邊形ABED是圓內接四邊形，

∴∠ADE+∠ABE=180°，

又∠ADE+∠MDE=180°，

∴∠MDE=∠MBA，

同理證明：∠MED=∠A，

∴∠MDE=∠MED，

（2）4；30°
【解析】（2）①4， 由（1）可知，∠A=∠MDE，
∴DE∥AB，
∴
∵DM=2AD，
∴DM：MA=2：3，
∴DE= AB= ×6=4．
②當∠C=30°時，四邊形ODME是菱形．
連接OD、OE，
∵OA=OD，∠A=60°，
∴△AOD是等邊三角形，
∴∠AOD=60°，
∵DE∥AB，
∴∠ODE=∠AOD=60°，∠MDE=∠MED=∠A=60°，
∴△ODE，△DEM都是等邊三角形，
∴OD=OE=EM=DM，
∴四邊形OEMD是菱形．
所以答案是：（2）①4；②30°