Question

如圖，已知直線y=x+4與兩坐???軸分別交于A、B兩點，⊙C的圓心坐標為 （2，O），半徑為2，若D是⊙C上的一個動點，線段DA與y軸交于點E，則△ABE面積的最小值和最大值分別是________．

Answer 1

8-2和8+2
分析：求出OA、OB值，根據已知得出求出BE的最大值和最小值即可，過A作⊙C的兩條切線，連接OD′，OD，求出AC，根據切線性質設E′O=E′D′=x，根據sin∠CAD′=，代入求出x，即可求出BE的最大值和最小值，根據三角形的面積公式求出即可．
解答：y=x+4，
∵當x=0時，y=4，當y=0時，x=-4，
∴OA=4，OB=4，
∵△ABE的邊BE上的高是OA，
∴△ABE的邊BE上的高是4，
∴要使△ABE的面積最大或最小，只要BE取最大值或最小值即可，
過A作⊙C的兩條切線，如圖，
當在D點時，BE最小，即△ABE面積最小；
當在D′點時，BE最大，即△ABE面積最大；
∵x軸⊥y軸，OC為半徑，
∴EE′是⊙C切線，
∵AD′是⊙C切線，
∴OE′=E′D′，
設E′O=E′D′=x，
∵AC=4+2=6，CD′=2，AD′是切線，
∴∠AD′C=90°，由勾股定理得：AD′=4，
∴sin∠CAD′==，
∴=，
解得：x=，
∴BE′=4+，BE=4-，
∴△ABE的最小值是×（4-）×4=8-2，
最大值是：×（4+）×4=8+2，
故答案為：8-2和8+2．
點評：本題考查了切線的性質和判定，三角形的面積，銳角三角函數的定義等知識點，解此題的關鍵是找出符合條件的D的位置，題目比較好，有一定的難度．