Question

如圖，在△ABC中，∠B=60°，BA=24cm，BC=16cm．現有動點P從點A出發，沿線段AB向點B運動；動點Q從點C出發，沿線段CB向點B運動，如果點P的速度是4cm/s，點Q的速度是2cm/s，它們同時出發，運動時間為t秒，求：
（1）當t為何值時，△PBQ的面積是△ABC的面積的一半；
（2）在第（1）問的前提下，P，Q兩點之間的距離是多少？

Answer 1

（1）分別過C，Q作CG⊥AB，QH⊥AB于G，H，
∵BC=16，∠B=60°，
∴CG=BC•sin60°=8

3

，
又∵AB=24，
∴S_△ABC=

1

2

AB•CG=96

3

，
又∵AP=4t，CQ=2t，
∴BP=24-4t，BQ=16-2t（0＜t＜8），
∴QH=BQ•sin60°=（8-t）

3

，
∴S_△PBQ=

1

2

BP•QH=

1

2

×（24-4t）×（8-t）

3

，
又∵S_△PBQ=

1

2

S_△ABC，
∴

1

2

×（24-4t）×（8-t）

3

=

1

2

×96

3

，
∴t²-14t+24=0，
∴t₁=2，t₂=12（舍去），
∴當t為2秒時，△PBQ的面積是△ABC的面積的一半．

（2）當t=2時，HQ=6

3

，BQ=12，BP=16，
∴BH=

1

2

BQ=6，PH=16-6=10，
又∵在Rt△PQH中，PQ²=HQ²+PH²，
∴PQ=

(6 3 )2+102

=4

13

．