Question

如圖1，已知點D在A上，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，點M為BC的中點
（1）求證：△BMD為等腰直角三角形．
（2）將△ADE繞點A逆時針旋轉45°，如圖2中的“△BMD為等腰直角三角形”是否仍然成立？請說明理由．
（3）將△ADE繞點A任意旋轉一定的角度，如圖3中的“△BMD為等腰直角三角形”是否均成立？說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據等腰直角三角形的性質得出∠ACB=∠BAC=45°∠ADE=∠EBC=∠EDC=90°，推出BM=DM，BM=CM，DM=CM，推出∠BCM=∠MBC，∠ACM=∠MDC，求出∠BMD=2∠BCM+2∠ACM=2∠BCA=90°即可．
（2）延長ED交AC于F，求出DM=

1

2

FC，DM∥FC，∠DEM=NCM，根據ASA推出△EDM≌△CNM，推出DM=BM即可．
（3）過點C作CF∥ED，與DM的延長線交于點F，連接BF，推出△MDE≌△MFC，求出DM=FM，DE=FC，作AN⊥EC于點N，證△BCF≌△BAD，推出BF=BD，∠DBA=∠CBF，求出∠DBF=90°，即可得出答案．

解答：（1）證明：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴∠ACB=∠BAC=45°∠ADE=∠EBC=∠EDC=90°，
∵點M為BC的中點，
∴BM=

1

2

EC，DM=

1

2

EC，
∴BM=DM，BM=CM，DM=CM，
∴∠BCM=∠MBC，∠DCM=∠MDC，
∴∠BME=∠BCM+∠MBC=2∠BCE，
同理∠DME=2∠ACM，
∴∠BMD=2∠BCM+2∠ACM=2∠BCA=2×45°=90°
∴△BMD是等腰直角三角形．

（2）解：如圖2，△BDM是等腰直角三角形，
理由是：延長ED交AC于F，
∵△ADE和△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠EAD=45°，
∵AD⊥ED，
∴ED=DF，
∵M為EC中點，
∴EM=MC，
∴DM=

1

2

FC，DM∥FC，
∴∠BDN=∠BND=∠BAC=45°，
∵ED⊥AB，BC⊥AB，
∴ED∥BC，
∴∠DEM=NCM，
在△EDM和△CNM中

∠DEM=∠NCM EM=CM ∠EMD=∠CMN

∴△EDM≌△CNM（ASA），
∴DM=MN，
∴BM⊥DN，
∴△BMD是等腰直角三角形．

（3）△BDM是等腰直角三角形，
理由是：過點C作CF∥ED，與DM的延長線交于點F，連接BF，
可證得△MDE≌△MFC，
∴DM=FM，DE=FC，
∴AD=ED=FC，
作AN⊥EC于點N，
由已知∠ADE=90°，∠ABC=90°，
可證得∠DEN=∠DAN，∠NAB=∠BCM，
∵CF∥ED，
∴∠DEN=∠FCM，
∴∠BCF=∠BCM+∠FCM=∠NAB+∠DEN=∠NAB+∠DAN=∠BAD，
∴△BCF≌△BAD，
∴BF=BD，∠DBA=∠CBF，
∴∠DBF=∠DBA+∠ABF=∠CBF+∠ABF=∠ABC=90°，
∴△DBF是等腰直角三角形，
∵點M是DF的中點，
則△BMD是等腰直角三角形，

點評：本題考查了等腰直角三角形的性質，全等三角形的性質和判定，直角三角形斜邊上中線性質的應用，在本題中需要作輔助線來證明，難度較大．