Question

（2011•下關(guān)區(qū)一模）（1）如圖1，已知點(diǎn)P在正三角形ABC的邊BC上，以AP為邊作正三角形APQ，連接CQ．
①求證：△ABP≌△ACQ；
②若AB=6，點(diǎn)D是AQ的中點(diǎn)，直接寫出當(dāng)點(diǎn)P由點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng)．
（2）已知，△EFG中，EF=EG=13，F(xiàn)G=10．如圖2，把△EFG繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)到△EF'G'的位置，點(diǎn)M是邊EF'與邊FG的交點(diǎn)，點(diǎn)N在邊EG'上且EN=EM，連接GN．求點(diǎn)E到直線GN的距離．

Answer 1

分析：（1）①根據(jù)正三角形的性質(zhì)知∠BAC=∠PAQ=60°，所以∠BAC-∠PAC=∠PAQ-∠PAC；然后再由等邊三角形的邊都相等知AB=AC，AP=AQ；從而根據(jù)全等三角形的判定定理SAS來證明△ABP≌△ACQ；
（2）作輔助線“過點(diǎn)E作底邊FG的垂線，點(diǎn)H為垂足”構(gòu)建直角三角形，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)先證明△EFM≌△EGN（SAS）；最后求得∠ENG=∠EMF=90°、EM=12，即點(diǎn)E到直線GN的距離是12．

解答：解：（1）①∵三角形ABC和三角形APQ是正三角形，
∴AB=AC，AP=AQ，∠BAC=∠PAQ，
∴∠BAC-∠PAC=∠PAQ-∠PAC，
∴∠BAP=∠CAQ，
∴△ABP≌△ACQ
②如圖：當(dāng)點(diǎn)P由點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)路線為DD′，
∵AD=CD，AD′=D′Q′，
∴DD′=

1

2

CQ′=

1

2

AB=3；
∴點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng)為3．

（2）解法一：
過點(diǎn)E作底邊FG的垂線，點(diǎn)H為垂足．

在△EFG中，易得EH=12．
類似（1）可證明△EFM≌△EGN，
∴∠EFM=∠EGN，
∵∠EFG=∠EGF，
∴∠EGF=∠EGN，
∴GE是∠FGN的角平分線，
∴點(diǎn)E到直線FG和GN的距離相等，
∴點(diǎn)E到直線GN的距離是12．
解法二：
過點(diǎn)E作底邊FG的垂線，點(diǎn)H為垂足．過點(diǎn)E作直線
GN的垂線，點(diǎn)K為垂足，

在△EFG中，EH=

132-52

=12
同（1）可證明△EFM≌△EGN，
∴∠EFM=∠EGN，可證明△EFH≌△EGK，
∴EH=EK．
∴點(diǎn)E到直線GN的距離是12，
解法三：
把△EFG繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，對(duì)應(yīng)著點(diǎn)M在邊FG上從點(diǎn)F開始運(yùn)動(dòng)．

由題意，在運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)E到直線GN的距離不變．
不失一般性，設(shè)∠EMF=90°．
類似（1）可證明△EFM≌△EGN，
∴∠ENG=∠EMF=90°，
求得EM=12，
∴點(diǎn)E到直線GN的距離是12．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形是判定與性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)．解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)等邊三角形的三邊關(guān)系及三個(gè)內(nèi)角的關(guān)系證明△ABP≌△ACQ和△EFM≌△EGN，難度適中．