Question

【題目】如圖，已知AB，CD為⊙O的直徑，過點A作弦AE垂直于直徑CD于F，點B恰好為弧DE的中點，連接BC，BE.

(1)求證：AE=BC；

(2)若AE=，求⊙O的半徑；

(3)在(2)的條件下，求陰影部分的面積.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析;（2）半徑為2;（3）

【解析】

（1）連接BD，證明△ABE≌△CDB即可；

（2）根據垂徑定理和圓周角定理易求得∠A=∠ABE，得出∠A=30°，解直角三角形求得AB，即可求得⊙O的半徑；

（3）根據S陰影=S扇形BOE-S△BOE求得即可．

（1）連接BD，如圖，

∵AB，CD為的直徑，

∴∠CBD=∠AEB=90°，

∵點B恰好為的中點，

∴，

∴∠A=∠C，

∵AB，CD為⊙O的直徑，

∴AB=CD，

∴在△ABE和△CDB中，

∴△ABE≌△CDB，

∴AE=BC；

（2）∵過點A作弦AE垂直于直徑CD于F，

∴，

由（1）可得∠ABE=∠CDB，

∴，

∴，

∴∠A=∠ABE，

又∵∠AEB=90°，

∴∠A=30°，∠ABE=60°，

在Rt△ABE中，cos∠BAE=，

∴AB==4，

∴⊙O的半徑是：×4=2；

（3）連接OE，過點O作OM⊥BE于點M，如圖，

∵∠A=30°，

∴∠EOB=2∠A=2×30°=60°，

又∵OB=OE=2，

∴△BOE是等邊三角形，

∴OB=BE=OE=2，∠BOE=60°，

又∵OM⊥BE，

∴BM=BE=1，

∴OM==，

∴S△EOB=×2×=，

∴S陰影=S扇形BOE-S△BOE=-=．