Question

閱讀下列材料，然后回答所提出的問題．
（1）

1

1×3

=

1

2

(1-

1

3

)，

1

3×5

=

1

2

(

1

3

-

1

5

).

1

5×7

=

1

2

(

1

5

-

1

7

)，
于是

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

=

1

2

(1-

1

3

)+

1

2

(

1

3

-

1

5

)+

1

2

(

1

5

-

1

7

)
=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

)
=

1

2

(1-

1

7

)=

3

7

；
（2）上面求的方法是通過逆用分數減法法則，將和式中各分數轉化為兩個分數之差，使得除首末兩項外的中間各項可以互相抵消，從而達到求和的目的．
通過閱讀，你學會一種解決問題的方法了嗎？試用學到的方法計算：
①

1

x(x+3)

+

1

(x+3)(x+6)

+

1

(x+6)(x+9)

；
②

1

a(a+1)

+

1

(a+1)(a+2)

+

1

(a+2)(a+3)

+…

1

(a+2006)(a+2007)

．

Answer 1

分析：認真閱讀材料，將每一個分式分裂為兩個分式，觀察抵消規律，掌握這種方法，學著使用．

解答：解：（1）原式=

1

3

(

1

x

-

1

x+3

)+

1

2

(

1

x+3

-

1

x+6

)+

1

3

（

1

x+6

-

1

x+9

）
=(

1

x

-

1

x+3

+

1

x+3

-

1

x+6

+

1

x+6

-

1

x+9

)
=

1

3

•

x+9-x

x(x+9)

=

3

x(x+9)

；

（2）原式=(

1

a

-

1

a+1

)+

1

2

(

1

a+1

-

1

a+2

)+(

1

a+2

-

1

a+3

)+…+(

1

a+2006

-

1

a+2007

)
=(

1

a

-

1

a+1

+

1

a+1

-

1

a+2

+

1

a+2

-

1

a+3

+…+

1

a+2006

-

1

a+2007

)
=

a+2007-a

a(a+2007)

=

2007

a(a+2007)

．

點評：此題考查了分式減法的逆運算，培養了學生靈活應用知識的能力．