Question

閱讀下列材料，然后回答問題．
在進行二次根式的化簡與運算時，我們有時會碰上如

3

5

，

2 3

，

2

3 +1

一樣的式子，其實我們還可以將其進一步化簡：

3

5

=

3× 5

5 × 5

=

3 5

5

；（一）

2 3

=

2×3 3×3

=

6

3

（二）

2

3 +1

=

2×( 3 -1)

( 3 +1)( 3 -1)

=

2( 3 -1)

( 3 )2-12

=

3

-1（三）
以上這種化簡的步驟叫做分母有理化．

2

3 +1

還可以用以下方法化簡：

2

3 +1

=

3-1

3 +1

=

( 3 )2-12

3 +1

=

( 3 +1)( 3 -1)

3 +1

=

3

-1（四）
（1）請用不同的方法化簡

2

5 + 3

．
①參照（三）式得

2

5 + 3

=（　　）；
②參照（四）式得

2

5 + 3

=（　　）
（2）化簡：

1

3 +1

+

1

5 + 3

+

1

7 + 5

+…+

1

2n+1 + 2n-1

．

Answer 1

分析：（1）中，通過觀察，發現：分母有理化的兩種方法：1、同乘分母的有理化因式；2、因式分解達到約分的目的；
（2）中，注意找規律：分母的兩個被開方數相差是2，分母有理化后，分母都是2，分子可以出現抵消的情況．

解答：解：（1）

2

5 + 3

=

2( 5 - 3 )

( 5 + 3 )( 5 - 3 )

=

2( 5 - 3 )

( 5 )2-( 3 )2

=

5

-

3

，

2

5 + 3

=

( 5 )2-( 3 )2

5 + 3

=

( 5 + 3 )( 5 - 3 )

5 + 3

=

5

-

3

；

（2）原式=

3 -1

( 3 +1)( 3 -1)

+

5 - 3

( 5 + 3 )( 5 - 3 )

+

7 - 5

( 7 + 5 )( 7 - 5 )

+…+

2n+1 - 2n-1

( 2n+1 + 2n-1 )( 2n+1 - 2n-1 )

=

3 -1

2

+

5 - 3

2

+

7 - 5

2

+…+

2n+1 - 2n-1

2

=

2n+1 -1

2

．

點評：學會分母有理化的兩種方法．