Question

在△ABC中，AB=AC=5，tanB=．若⊙O的半徑為，且⊙O經過點B、C，那么線段OA的長等于　

 

Answer 1

3或5．

【解析】

試題分析：分兩種情況考慮：（i）如圖1所示，由AB=AC，OB=OC，利用線段垂直平分線逆定理得到AO垂直平分BC，在直角三角形ABD中，由AB及cos∠ABC的值，利用銳角三角函數定義求出BD的長，再利用勾股定理求出AD的長，在直角三角形OBD中，由OB與BD的長，利用勾股定理求出OD的長，由AD+DO即可求出AO的長；（ii）同理由AD-OD即可求出AO的長，綜上，得到所有滿足題意的AO的長

試題解析：分兩種情況考慮：

（i）如圖1所示，

∵AB=AC，OB=OC，

∴AO垂直平分BC，

∴OA⊥BC，D為BC的中點，

在Rt△ABD中，AB=5，tan∠ABC=，

設AD=4x，BD=3x，由勾股定理得：（3x）2+（4x）2=52，

x=1，

∴BD=3，AD=4，

在Rt△BDO中，OB==1，BD=3，

則AO=AD+OD=4+1=5；

（ii）如圖2所示，AO=AD-OD=4-1=3；

綜合上述，OA的長為3或5．

考點：1.垂徑定理；2.等腰三角形的性質；3.解直角三角形．