Question

【題目】已知：如圖，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，對角線AC，BD交于點0．點P從點A出發，沿方向勻速運動，速度為1cm/s；同時，點Q從點D出發，沿DC方向勻速運動，速度為1cm/s；當一個點停止運動時，另一個點也停止運動．連接PO并延長，交BC于點E，過點Q作QF∥AC，交BD于點F．設運動時間為t（s）（0＜t＜6），解答下列問題：

（1）當t為何值時，△AOP是等腰三角形？

（2）設五邊形OECQF的面積為S（cm2），試確定S與t的函數關系式；

（3）在運動過程中，是否存在某一時刻t，使S五邊形S五邊形OECQF：S△ACD=9：16？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；

（4）在運動過程中，是否存在某一時刻t，使OD平分∠COP？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）或5；（2）；（3）；（4）2.88.

【解析】試題（1）根據矩形的性質和勾股定理得到AC=10，①當AP=PO=t，如圖1，過P作PM⊥AO，根據相似三角形的性質得到AP=t=，②當AP=AO=t=5，于是得到結論；

（2）作EH⊥AC于H，QM⊥AC于M，DN⊥AC于N，交QF于G，根據全等三角形的性質得到CE=AP=t，根據相似三角形的性質表示出EH，根據相似三角形的性質表示出QM，FQ，根據圖形的面積即可得到結論；

（3）根據題意列方程得到t的值，于是得到結論；

（4）由角平分線的性質得到DM的長，根據勾股定理得到ON的長，由三角形的面積公式表示出OP，根據勾股定理列方程即可得到結論．

試題解析：（1）∵在矩形ABCD中，Ab=6cm，BC=8cm，

∴AC=10，

①當AP=PO=t，如圖1，過P作PM⊥AO，

∴AM=AO=，

∵∠PMA=∠ADC=90°，∠PAM=∠CAD，

∴△APM∽△ADC，

∴，

∴AP=t=，

②當AP=AO=t=5，

∴當t為或5時，△AOP是等腰三角形；

（2）作EH⊥AC于H，QM⊥AC于M，DN⊥AC于N，交QF于G，在△APO與△CEO中，

∵∠PAO=∠ECO，AO=OC，∠AOP=∠COE，

∴△AOP≌△COE，

∴CE=AP=t，

∵△CEH∽△ABC，

∴，

∴EH=，

∵DN==，

∵QM∥DN，

∴△CQM∽△CDN，

∴，即，

∴QM=，

∴DG==，

∵FQ∥AC，

∴△DFQ∽△DOC，

∴，

∴FQ=，

∴S五邊形OECQF=S△OEC+S四邊形OCQF==，

∴S與t的函數關系式為；

（3）存在，

∵S△ACD=×6×8=24，

∴S五邊形OECQF：S△ACD=（）：24=9：16，解得t=，t=0，（不合題意，舍去），

∴t=時，S五邊形S五邊形OECQF：S△ACD=9：16；

（4）如圖3，過D作DM⊥AC于M，DN⊥AC于N，

∵∠POD=∠COD，

∴DM=DN=，

∴ON=OM==，

∵OPDM=3PD，

∴OP=，

∴PM=，

∵，

∴，解得：t≈15（不合題意，舍去），t≈2.88，

∴當t=2.88時，OD平分∠COP．