Question

如圖，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝AB＝3，BC＝4，動點P從B點出發，沿線段BC向點C作勻速運動；動點Q從點D出發，沿線段DA向點A作勻速運動．過Q點垂直于AD的射線交AC于點M，交BC于點N．P、Q兩點同時出發，速度都為每秒1個單位長度，當Q點運動到A點，P、Q兩點同時停止運動．設點Q運動的時間為t秒．

(1)求NC、MC的長(用含t的代數式表示)；

(2)當t為何值時，四邊形PCDQ構成平行四邊形？

(3)是否存在某一時刻t，使射線QN恰好將△ABC的面積和周長同時平分？若存在，求出此時t的值；若不存在，請說明理由；

(4)探究：t為何值時，△PMC為等腰三角形？

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由題意知，四邊形ABNQ為矩形，∴BN＝AQ＝3－t 　　∴NC＝BC－BN＝4－(3－t)＝1＋t． 　　在Rt△ABC中，AC2＝AB2＋BC2＝32＋42＝25，∴AC＝5 　　在Rt△MNC中，cos∠MCN＝＝＝　∴MC＝(1＋t) 　　(2)∵QD∥PC，∴當QD＝PC時，四邊形PCDQ構成平行四邊形 　　∴t＝4－t，∴t＝2　∴當t＝2時，四邊形PCDQ構成平行四邊形． 　　(3)若射線QN將△ABC的周長平分，則有MC＋NC＝AM＋BN＋AB 　　即(1＋t)＋1＋t＝(3＋4＋5)　解得t＝．而MN＝NC＝(1＋t) 　　∴S△MNC＝NC·MN＝(1＋t)×(1＋t)＝(1＋t)2 　　當t＝時，S△MNC＝(1＋)2＝ 　　而S△ABC＝××4×3＝3，∴S△MNC≠S△ABC 　　∴不存在某一時刻t，使射線QN恰好將△ABC的面積和周長同時平分 　　(4)若△PMC為等腰三角形，則： 　　①當MP＝MC時(如圖)，則有：NP＝NC 　　即PC＝2NC，∴4－t＝2(1＋t)　解得t＝． 　　當CM＝CP時(如圖)，則有：(1＋t)＝4－t　解得t＝． 　　③當PM＝PC時(如圖)，則有： 　　在Rt△MNP中，PM2＝MN2＋PN2　又MN＝NC＝(1＋t) 　　PN＝NC－PC＝(1＋t)－(4－t)＝2t－3 　　∴[(1＋t)]2＋(2t－3)2＝(4－t)2解得t1＝，t2＝－1(不合題意，舍去) 　　綜上所述，當t＝或t＝或t＝時，△PMC為等腰三角形．