Question

如圖，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC∥EF，∠A=90°，BC=DC=4，AC、BD交于E，且EF=ED．
（1）求證：△DBC為等邊三角形．
（2）若M為AD的中點，求過M、E、C的拋物線的解析式．
（3）判定△BCD的外心是否在該拋物線上（說明理由）

Answer 1

分析：（1）根據AD∥BC∥EF，得到對應線段的比相等，確定DB=BC，可以證明△DBC是等邊三角形．
（2）確定點M，E，C的坐標，然后用待定系數法求出拋物線的解析式．
（3）求出△BCD的外心的坐標，通過代入到拋物線，判定是否在拋物線上．

解答：解：（1）∵EF∥BC，
∴

EF

BC

=

AF

AB

，
∵EF∥AD，
∴

AF

AB

=

DE

DB

，
∴

EF

BC

=

DE

DB

，
∵EF=DE，
∴DB=BC=4，
∴BC=DC=BD=4，
∴△DBC為等邊三角形；

（2）由（1）知：∠ABD=30°，AD=2，
∴M（0，1），C（2

3

，4），
如圖：過E作EH⊥AD于H，
則：DH=

1

2

DE=

1

2

EF，
∴AD-DH=EF，
即：2-

1

2

EF=EF，
∴EF=

4

3

，
HE=

3

2

DE=

2 3

3

，
∴E（

2 3

3

，

4

3

），
設過M，E，C的拋物線的解析式為：y=ax²+bx+c，
把M，E，C三點的坐標代入拋物線有：

c=1 a•12+2 3 b+c=4 a• 4 3 + 2 3 b 3 +c= 4 3

，
解得：

a= 1 4 b=0 c=1

，
∴拋物線的解析式為：y=

1

4

x²+1；

（3）△DBC的外心的坐標為（

4 3

3

，2），
把它代入拋物線，

1

4

•

16

3

+1=

7

3

≠2，
∴不在拋物線上．

點評：本題考查的是二次函數的綜合題，（1）利用平行得到對應線段的比，證明三角形是等邊三角形．（2）用待定系數法確定拋物線的解析式．（3）確定外心的坐標，判定是否在拋物線上．