Question

（本題滿分12分）如圖，在平面直角坐標系中，以點C（1，1）為圓心，2為半徑作圓，交x軸于A，B兩點，開口向下的拋物線經過點A，B，且其頂點P在⊙C上．

（1）求∠ACB的大小；
（2）寫出A，B兩點的坐標；
（3）試確定此拋物線的解析式；
（4）在該拋物線上是否存在一點D，使線段OP與CD互相平分？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）120°
（2）A(1-，0 )   B（1+，0）
（3）  
（4）點D在拋物線上   所以存在D（0，2）使線段OP與CD互相平分

試題分析：（1）
解：過點作CM⊥AB，得CM=1，
∵AC=2，∴∠CAB=30°，∴∠ACB=120°    （2分）
（2）∵CM=1，AC=2，∴AM=
∴A(1-，0 )   B（1+，0）        （2分）
（3）
解：由題可得該拋物線的對稱軸為 直線x=1，PM=3
∴頂點坐標為（1,3）                (1分)
設
經過點A(1-，0 ) ，得 0=3a+3
∴a=-1   ∴       （2分）
（4）解：存在   （1分）
假設存在點D使線段OP與CD互相平分，則四邊形OCPD是平行四邊形
∴PC//OD且PC=OD．
∵PC//y軸，∴點D在y軸上．
又∵PC=2，∴OD=2，即D（0，2）．    （2分）
又D（0，2）滿足
∴點D在拋物線上   所以存在D（0，2）使線段OP與CD互相平分． （2分）
點評：此類試題屬于難度較大的試題，考生在解答此類試題時一定要對待定系數法解二次函數的基本知識熟練把握