Question

【題目】如圖，在正方形中，，分別是，上兩個點，.

（1）如圖1，與的關系是________；

（2）如圖2，當點是的中點時，（1）中的結論是否仍然成立，若成立，請進行證明；若不成立，說明理由；

（3）如圖2，當點是的中點時，求證：.

Answer 1

【答案】（1）,;(2)成立，證明見解析；（3）見解析

【解析】

（1）因為，ABCD是正方形，所以AE=DF，可證△ADF≌BAE，可得=，再根據角∠AEB=∠AFD，∠DAF+∠AFD=90°，可得∠DAF+∠AEB=90°，可得;

（2）成立，因為E為AD中點，所以AE=DF，可證△ABE≌△DAF，可得=，再根據角∠AEB=∠AFD，∠DAF+∠AFD=90°，得到∠DAF+∠AEB=90°，可得；

（3） 如解圖，取AB中點H，連接CH交BG于點M，由（2）得，可證，所以MH為△AGB的中位線，所以M為BG中點，所以CM為BG垂直平分線，所以.

解：（1）AF=BE且AF⊥BE．理由如下：

證明：∵，ABCD為正方形

AE=AD－DE，DF=DC－CF

∴AE=DF

又∵∠BAD=∠D=90°，AB=AD

∴△ABE≌△DAF
∴AF=BE，∠AEB=∠AFD
∵在直角△ADF中，∠DAF+∠AFD=90°

∴∠DAF+∠AEB=90°

∴∠AGE=90°

∴AF⊥BE；

（2）成立，AF=BE且AF⊥BE．理由如下：

證明：∵E、F分別是AD、CD的中點，

∴AE=AD，DF=CD
∴AE=DF

又∵∠BAD=∠D=90°，AB=AD

∴△ABE≌△DAF
∴AF=BE，∠AEB=∠AFD
∵在直角△ADF中，∠DAF+∠AFD=90°

∴∠DAF+∠AEB=90°

∴∠AGE=90°

∴AF⊥BE

（3）取AB中點H，連接CH交BG于點M

∵H、F分別為AB、DC中點，AB∥CD，

∴AH=CF，

∴四邊形AHCF是平行四邊形，

∴AF∥CH，

又∵由（2）得，

∴，

∵AF∥CH，H為AB中點，

∴M為BG中點，

∵M為BG中點，且，

∴CH垂直平分BG，

∴CG=CB.