Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點P是y軸正半軸上的一點，⊙O與y軸正半軸交于點C，PB交⊙O于點D，點D是劣弧的中點，AB=．

（1）求 P點的坐標及的值；

（2）求證：DP2=OP·CP.

Answer 1

【答案】（1）點P的坐標為（0， ），1；（2）證明見解析.

【解析】分析：(1) 作DF⊥OB, DE⊥OC,由題中條件得出△PED∽△POB，而后求出點P的坐標，再利用解直角三角形得出結果.(2)用(1)的方法可得△PCD∽△PDO 從而求解.

本題解析：(1)如圖, 作DF⊥OB, DE⊥OC,垂足分別為F、E

∵點D是劣弧的中點，∴∠EOD=45°

在Rt△DEO中DO=,∴DE=EO=1

∵ED∥OB，∴△PED∽△POB

∴∴

∴

∴

∴點P的坐標為（0， ）,

∵∠DOF=∠EOD=45°,OD=OB

∴∠OBD=∠ODB=

∴∠OPB=90O-67.5O=22.5O

∴= ,

(2) 同上：∠OCD=∠ODC=

∴∠PCD=180O-67.5O=122.5O，

∠PDO=180O-∠ODB= 180O-67.5O=122.5O，

∴△PCD∽△PDO

∴

∴DP2=OP·CP;