Question

【題目】勾股定理神秘而美妙，它的證法多樣，其巧妙各有不同，其中的“面積法”給了小聰以靈感，他驚喜的發現，當兩個全等的直角三角形如圖1或圖2擺放時，都可以用“面積法”來證明，請你利用圖1或圖2證明勾股定理（其中∠DAB＝90°）

求證：a2+b2＝c2．

Answer 1

【答案】見解析.

【解析】

圖1，根據三個直角三角形的面積和等于梯形的面積列式化簡即可得證；

圖2，連結DB，過點D作BC邊上的高DF，則DF＝EC＝b﹣a，表示出S四邊形ADCB＝S△ACD+S△ABC，S四邊形ADCB＝S△ADB+S△DCB，兩者相等，整理即可得證．

利用圖1進行證明：

證明：∵∠DAB＝90°，點C，A，E在一條直線上，BC∥DE，則CE＝a+b，

∵S四邊形BCED＝S△ABC+S△ABD+S△AED＝ab+c2+ab，

又∵S四邊形BCED＝（a+b）2，

∴ab+c2+ab＝（a+b）2，

∴a2+b2＝c2．

利用圖2進行證明：

證明：如圖，連結DB，過點D作BC邊上的高DF，則DF＝EC＝b﹣a，∵S四邊形ADCB＝S△ACD+S△ABC＝b2+ab．

又∵S四邊形ADCB＝S△ADB+S△DCB＝c2+a（b﹣a），

∴b2+ab＝c2+a（b﹣a），

∴a2+b2＝c2．