Question

已知拋物線C₁：y=-x²+2mx+n（m，n為常數，且m≠0，n＞0）的頂點為A，與y軸交于點C；拋物線C₂與拋物線C₁關于y軸對稱，其頂點為B，連接AC，BC，AB．
注：拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點坐標為．
（1）請在橫線上直接寫出拋物線C₂的解析式：______；
（2）當m=1時，判定△ABC的形狀，并說明理由；
（3）拋物線C₁上是否存在點P，使得四邊形ABCP為菱形？如果存在，請求出m的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）y=-x²-2mx+n．

（2）當m=1時，△ABC為等腰直角三角形．
理由如下：如圖：
∵點A與點B關于y軸對稱，點C又在y軸上，
∴AC=BC．
過點A作拋物線C₁的對稱軸交x軸于D，過點C作CE⊥AD于E．
∴當m=1時，頂點A的坐標為A（1，1+n），
∴CE=1．
又∵點C的坐標為（0，n），
∴AE=1+n-n=1．
∴AE=CE．
從而∠ECA=45°，
∴∠ACy=45度．
由對稱性知∠BCy=∠ACy=45°，
∴∠ACB=90度．
∴△ABC為等腰直角三角形．

（3）假設拋物線C₁上存在點P，使得四邊形ABCP為菱形，則PC=AB=BC．
由（2）知，AC=BC，
∴AB=BC=AC．
從而△ABC為等邊三角形．
∴∠ACy=∠BCy=30度．
∵四邊形ABCP為菱形，且點P在C₁上，
∴點P與點C關于AD對稱．
∴PC與AD的交點也為點E，
因此∠ACE=90°-30°=60度．
∵點A，C的坐標分別為A（m，m²+n），C（0，n），
∴AE=m²+n-n=m²，CE=|m|．
在Rt△ACE中，tan60°===．
∴|m|=，∴m=±．
故拋物線C₁上存在點P，使得四邊形ABCP為菱形，
此時m=±．
說明：只求出m的一個值扣．
分析：（1）根據軸對稱的性質可得：關于y軸對稱，縱坐標不變，橫坐標互為相反數，即可求得；
（2）根據軸對稱的性質可得：AC=BC等腰三角形，借助于輔助線，又可求得∠ACy=45°，可得△ABC為等腰直角三角形；
（3）首先假設成立，根據菱形的性質求解，求得m=±，所以存在．
點評：此題考查了二次函數與四邊形以及軸對稱圖形的綜合知識，解題時要注意輔助線選擇與應用，還要注意數形結合思想的應用．