Question

如圖，已知拋物線C₁：y=a（x-2）²-5的頂點(diǎn)為P，與x軸相交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是-1．
（1）求P點(diǎn)坐標(biāo)及a的值；
（2）如圖（1），拋物線C₂與拋物線C₁關(guān)于x軸對(duì)稱，將拋物線C₂向左平移，平移后的拋物線記為C₃，C₃的頂點(diǎn)為M，當(dāng)點(diǎn)P、M關(guān)于點(diǎn)A成中心對(duì)稱時(shí)，求C₃的解析式y(tǒng)=a（x-h）²+k；
（3）如圖（2），點(diǎn)Q是x軸負(fù)半軸上一動(dòng)點(diǎn)，將拋物線C₁繞點(diǎn)Q旋轉(zhuǎn)180°后得到拋物線C₄．拋物線C₄的頂點(diǎn)為N，與x軸相交于E、F兩點(diǎn)（點(diǎn)E在點(diǎn)F的左邊），當(dāng)以點(diǎn)P、N、E為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)，求頂點(diǎn)N的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)的解析式可得出頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，-5），將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，可得出a的值；
（2）連接PM，作PH⊥x軸于H，作MG⊥x軸于G，先判斷△PAH≌△MAG，繼而得出點(diǎn)M的坐標(biāo)，代入可得出C₃的解析式．
（3）設(shè)點(diǎn)N坐標(biāo)為（m，5），作PH⊥x軸于H，作NG⊥x軸于G，作PR⊥NG于R，根據(jù)中心對(duì)稱的知識(shí)可得出點(diǎn)E、H、R的坐標(biāo)，分別表示出PN²、PE²、NE²，討論即可得解．

解答：解：（1）由拋物線C₁：y=a（x-2）²-5得頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，-5）；
∵點(diǎn)A（-1，0）在拋物線C₁上，
∴a（-3）²-5=0，
解得：a=

5

9

．

（2）連接PM，作PH⊥x軸于H，作MG⊥x軸于G，
∵點(diǎn)P、M關(guān)于點(diǎn)A成中心對(duì)稱，
∴PM過(guò)點(diǎn)A，且PA=MA，
∴△PAH≌△MAG，
∴MG=PH=5，AG=AH=3．
∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-4，5），
∵拋物線C₂與C₁關(guān)于x軸對(duì)稱，拋物線C₃由C₂平移得到，
∴拋物線C₃的表達(dá)式y=-

5

9

(x+4)2+5．

（3）∵拋物線C₄由C₁繞x軸上的點(diǎn)Q旋轉(zhuǎn)180°得到，
∴頂點(diǎn)N、P關(guān)于點(diǎn)Q成中心對(duì)稱，
由（2）得點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為5，
設(shè)點(diǎn)N坐標(biāo)為（m，5），作PH⊥x軸于H，作NG⊥x軸于G，作PR⊥NG于R，
∵旋轉(zhuǎn)中心Q在x軸上，
∴EF=AB=2AH=6，
∴EG=3，點(diǎn)E坐標(biāo)為（m-3，0），H坐標(biāo)為（2，0），R坐標(biāo)為（m，-5），
根據(jù)勾股定理，得PN²=NR²+PR²=m²-4m+104，PE²=PH²+HE²=m²-10m+50，NE²=5²+3²=34，
①當(dāng)∠PNE=90°時(shí)，PN²+NE²=PE²，
解得m=-

44

3

，即N點(diǎn)坐標(biāo)為（-

44

3

，5）．
②當(dāng)∠PEN=90°時(shí)，PE²+NE²=PN²，
解得m=-

10

3

，即N點(diǎn)坐標(biāo)為（-

10

3

，5）．
③∵PN＞NR=10＞NE，
∴∠NPE≠90°；
綜上所得，當(dāng)N點(diǎn)坐標(biāo)為（-

44

3

，5）或（-

10

3

，5）時(shí)，以點(diǎn)P、N、E為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于二次函數(shù)的綜合題，涉及了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)圖象的旋轉(zhuǎn)變換，難點(diǎn)在第三問(wèn)，關(guān)鍵是得出點(diǎn)E、點(diǎn)H、點(diǎn)R的坐標(biāo)，表示出直角三角形PEN三邊的平方，然后討論得出答案，難度較大．