Question

【題目】如圖，二次函數(shù)（）的圖象與軸交于兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)．連結(jié)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，且當(dāng)和時(shí)二次函數(shù)的函數(shù)值相等．

（1）求實(shí)數(shù)的值；

（2）若點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，均以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度分別沿邊運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒時(shí)，連結(jié)，將沿翻折，點(diǎn)恰好落在邊上的處，求的值及點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)，使得以為項(xiàng)點(diǎn)的三角形與相似？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）t=， ；（3）Q（-1，），見解析.

【解析】

（1）由題意和圖形可求出函數(shù)的表達(dá)式；

（2）結(jié)合拋物線內(nèi)部幾何關(guān)系和性質(zhì)求出t值及P點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）假設(shè)成立（1）若有△ACB∽△QNB則有∠ABC=∠QBN，尋找相似條件，判斷是否滿足．

解：（1）∵在拋物線上

∴代入得c=

∵x=-4和x=2時(shí)二次函數(shù)的函數(shù)值y相等，

∴頂點(diǎn)橫坐標(biāo),

,

又∵A（-3，0）在拋物線上，

∴9a3b+=0

由以上二式得;

（2）由（1）,

∴B（1，0），

連接BP交MN于點(diǎn)O1，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得：O1也為PB中點(diǎn)．

設(shè)t秒后有,

設(shè)P（x，y），B（1，0）

∵O1為P、B的中點(diǎn)可得，即,

∵A，C點(diǎn)坐標(biāo)知AC：，P點(diǎn)也在直線AC上代入得t=,

即；

（3）假設(shè)成立；

①若有△ACB∽△QNB，則有∠ABC=∠QBN，

∴Q點(diǎn)在x軸上，AC∥QN但由題中A，C，Q，N坐標(biāo)知直線的一次項(xiàng)系數(shù)為：，

則△ACB不與△QNB相似．

②若有△ACB∽△QBN，則有

設(shè)，

則，

代入（1）得，

或，

當(dāng)時(shí)有Q（-1，）則不滿足相似舍去；

當(dāng)y=有Q（-1，）則，

∴存在點(diǎn)Q（-1，）使△ACB∽△QBN．

綜上可得：Q（-1，）.