Question

【題目】如圖，△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O與BC相交于點D，與CA的延長線相交于點E，過點D作DF⊥AC于點F．

（1）證明：DF是⊙O的切線；

（2）若AC＝3AE，FC＝6，求AF的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AF＝3．

【解析】

（1）連接OD，根據等邊對等角性質和平行線的判定和性質證得OD⊥DF，從而證得DF是⊙O的切線；

（2）根據圓周角定理、勾股定理得出BE=2AE，CE=4AE，然后根據勾股定理求得BE=2AE，再根據相似三角形的判定與性質，即可得到答案．

（1）證明：如圖1，連接OD，

∵OB＝OD，

∴∠B＝∠ODB，

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

∴∠ODB＝∠C，

∴OD∥AC，

∵DF⊥AC，

∴OD⊥DF，

∴DF是⊙O的切線；

（2）解：如圖2，連接BE，AD，

∵AB是直徑，

∴∠AEB＝90°，

∵AB＝AC，AC＝3AE，

∴AB＝3AE，CE＝4AE，

∴，

∴，

∵∠DFC＝∠AEB＝90°，

∴DF∥BE，

∴△DFC∽△BEC，

∴ ，

∵CF＝6，

∴DF＝3，

∵AB是直徑，

∴AD⊥BC，

∵DF⊥AC，

∴∠DFC＝∠ADC＝90°，∠DAF＝∠FDC，

∴△ADF∽△DCF，

∴，

∴DF2＝AFFC，

∴，

∴AF＝3．