Question

（2013•廣安）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作半圓⊙0，交BC于點D，連接AD，過點D作DE⊥AC，垂足為點E，交AB的延長線于點F．
（1）求證：EF是⊙0的切線．
（2）如果⊙0的半徑為5，sin∠ADE=

4

5

，求BF的長．

Answer 1

分析：（1）連結OD，AB為⊙0的直徑得∠ADB=90°，由AB=AC，根據等腰三角形性質得AD平分BC，即DB=DC，則OD為△ABC的中位線，所以OD∥AC，而DE⊥AC，則OD⊥DE，然后根據切線的判定方法即可得到結論；
（2）由∠DAC=∠DAB，根據等角的余角相等得∠ADE=∠ABD，在Rt△ADB中，利用解直角三角形的方法可計算出AD=8，在Rt△ADE中可計算出AE=

32

5

，然后由OD∥AE，
得△FDO∽△FEA，再利用相似比可計算出BF．

解答：（1）證明：連結OD，如圖，
∵AB為⊙0的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴AD平分BC，即DB=DC，
∵OA=OB，
∴OD為△ABC的中位線，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴EF是⊙0的切線；

（2）解：∵∠DAC=∠DAB，
∴∠ADE=∠ABD，
在Rt△ADB中，sin∠ADE=sin∠ABD=

AD

AB

=

4

5

，而AB=10，
∴AD=8，
在Rt△ADE中，sin∠ADE=

AE

AD

=

4

5

，
∴AE=

32

5

，
∵OD∥AE，
∴△FDO∽△FEA，
∴

OD

AE

=

FO

FA

，即

5

32 5

=

BF+5

BF+10

，
∴BF=

90

7

．

點評：本題考查了切線的判定定理：過半徑的外端點且與半徑垂直的直線為圓的切線．也考查了等腰三角形的性質、圓周角定理和解直角三角形．