Question

如圖，在正方形上連接等腰直角三角形，不斷反復同一個過程，假設第一個正方形的邊長為單位1．第一個正方形與第一個等腰三角形的面積和記作S₁；第二個正方形與第二個等腰直角三角形的面積和記作S₂；…；那么第n個正方形與第n個等腰直角三角形的面積和S_n用含n的代數式表示為______．

Answer 1

∵第一個正方形的邊長為1，
第2個正方形的邊長為（

2

2

）¹=

2

2

，
第3個正方形的邊長為（

2

2

）²=

1

2

，
…，
第n個正方形的邊長為（

2

2

）^n-1，
∴第n個正方形的面積=[（

2

2

）²]^n-1=

1

2n-1

，
則第n個等腰直角三角形的面積為：

1

2n-1

×

1

4

=

1

2n+1

，
故S_n與n的關系為：S_n=

1

2n+1

+

1

2n-1

=

5

2n+1

．
故答案為：

5

2n+1

．