Question

【題目】如圖，點P為定角∠AOB的平分線上的一個定點，且∠MPN與∠AOB互補，若∠MPN在繞點P旋轉的過程中，其兩邊分別與OA、OB相交于M、N兩點，則以下結論：（1）PM=PN恒成立；（2）OM+ON的值不變；（3）四邊形PMON的面積不變；（4）MN的長不變，其中正確的個數為（ ）
A.4
B.3
C.2
D.1

Answer 1

【答案】B
【解析】解：如圖作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F． ∵∠PEO=∠PFO=90°，
∴∠EPF+∠AOB=180°，
∵∠MPN+∠AOB=180°，
∴∠EPF=∠MPN，
∴∠EPM=∠FPN，
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
∴PE=PF，
在△POE和△POF中，
，
∴△POE≌△POF，
∴OE=OF，
在△PEM和△PFN中，
，
∴△PEM≌△PFN，
∴EM=NF，PM=PN，故（1）正確，
∴S△PEM=S△PNF ，
∴S四邊形PMON=S四邊形PEOF=定值，故（3）正確，
∵OM+ON=OE+ME+OF﹣NF=2OE=定值，故（2）正確，
MN的長度是變化的，故（4）錯誤，
故選B．

【考點精析】本題主要考查了角平分線的性質定理的相關知識點，需要掌握定理1：在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等； 定理2：一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上才能正確解答此題．